Производная от функции комплексной переменной

Date: 2015-10-07; view: 568.

Пусть задана функция . Говорят что у существует производная в точке z, если существует

.

Определение. Если имеет производную в каждой точке области G, то она называется аналитической в области G.

Выясним геометрический смысл производной. Рассмотрим на плоскости z бесконечно малый отрезок, соединяющий точки z и Dz. Тогда длина этого отрезка есть |Dz|, а arg Dz есть угол, который этот отрезок образует с осью OX (см. рис. 10.3).

Аналогично, на плоскости w бесконечно малый отрезок, соединяющий точки w и Dw. Тогда длина этого отрезка есть |Dw|, а arg Dw есть угол, который этот отрезок образует с осью OU.

Рис. 10.3 Геометрический смысл производной от функции комплексной переменной

А теперь вспомним, что , , так что . Тогда получим

.

Отсюда

.

Отношение есть отношение длин отрезков и . Таким образом, есть коэффициент растяжениябесконечно малого отрезка при его отображении с плоскости z на плоскость w.

Далее, так как

,

то есть угол поворотабесконечно малого отрезка при его отображении с плоскости z на плоскость w. Заметим, что этот угол поворота не зависит от , то есть от направления отрезка .