Интегральные формулы Коши

Date: 2015-10-07; view: 438.

Приведем две основные формулы, касающиеся аналитических функций.

Теорема 1.Пусть аналитична в односвязной области G. Тогда для любой точки имеет место формула

,

где C – любой простой контур, лежащий в G и охватывающий z. В частности, в качестве контура С может быть взята граница области G.

Эта теорема устанавливает очень интересное свойство аналитической функции: ее значения на границе области полностью определяют ее значения внутри области.

Теорема 2.Если аналитична в односвязной области G, то в этой области у нее существуют производные всех порядков, причем

,

где C – любой простой контур, лежащий в G и охватывающий z. В частности, в качестве контура С может быть взята граница области G.

Эта теорема устанавливает еще одно очень интересное свойство функций комплексной переменной, не имеющее аналога для функций вещественной переменной: существование первой производной гарантирует существование всех остальных производных.

Неравенство Коши.Обозначим через минимальное расстояние от точки z до контура С, и пусть . Тогда имеет место неравенство

,

которое также носит имя Коши.