Алгебраическое число

Date: 2015-10-07; view: 429.

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Алгебраи́ческое число́ над полем — элемент алгебраического замыкания поля , то есть корень многочлена (не равного тождественно нулю) с коэффициентами из .

Если поле не указывается, то предполагается поле рациональных чисел, то есть , в этом случае поле алгебраических чисел обычно обозначается . Поле являетсяподполем поля комплексных чисел.

Эта статья посвящена именно этим «рациональным алгебраическим числам».

[править]Связанные определения

§ Комплексное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.

§ Целыми алгебраическими числами называются корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом единица.

§ Если — алгебраическое число, то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих своим корнем, существует единственный многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным . Такой многочлен автоматически является неприводимым, он называется каноническим, или минимальным, многочленом алгебраического числа . (Иногда каноническим называют многочлен, получающийся из минимального домножением на наименьший общий знаменатель его коэффициентов, то есть многочлен с целыми коэффициентами)

§ Степень канонического многочлена называется степенью алгебраического числа .

§ Другие корни канонического многочлена называются сопряжёнными к .

§ Высотой алгебраического числа называется наибольшая из абсолютных величин коэффициентов в неприводимом и примитивном многочлене с целыми коэффициентами, имеющем своим корнем.

[править]Примеры

§ Рациональные числа, и только они, являются алгебраическими числами 1-й степени.

§ Мнимая единица i и являются алгебраическими числами 2-й степени. Сопряжёнными к ним являются соответственно -i и .

§ При любом натуральном числе n число является алгебраическим степени n.

[править]Свойства

§ Множество алгебраических чисел счётно, а следовательно, имеет меру нуль.

§ Множество алгебраических чисел плотно в комплексной плоскости.

§ Сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел (кроме деления на нуль) суть алгебраические числа, то есть множество всех алгебраических чисел образуетполе.

§ Корень многочлена с алгебраическими коэффициентами есть алгебраическое число, то есть поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.

§ Для всякого алгебраического числа существует такое натуральное , что — целое алгебраическое число.

§ Алгебраическое число степени имеет различных сопряжённых чисел (включая себя).

§ и сопряжены тогда и только тогда, когда существует автоморфизм поля , переводящий в .

§ Любое алгебраическое число вычислимо, а следовательно, арифметично.

§ Порядок на множестве действительных алгебраических чисел изоморфен порядку на множестве рациональных чисел.

[править]История

Впервые алгебраические поля стал рассматривать Гаусс. При обосновании теории биквадратичных вычетов он развил арифметику целых гауссовых чисел, то есть чисел вида , где и — целые числа. Далее, изучая теорию кубических вычетов, Якоби и Эйзенштейн создали арифметику чисел вида , где — кубическийкорень из единицы, а и — целые числа. В 1844 году Лиувилль доказал теорему о невозможности слишком хорошего приближения корней многочленов с рациональными коэффициентами рациональными дробями, и, как следствие, ввёл формальные понятия алгебраических и трансцендентных (то есть всех прочих вещественных) чисел. Попытки доказать великую теорему Ферма привели Куммера к изучению полей деления круга, введению понятия идеала и созданию элементов теории алгебраических чисел. В работахДирихле, Кронекера, Гильберта и других теория алгебраических чисел получила свое дальнейшее развитие. Большой вклад в неё внесли русские математики Золотарев (теория идеалов), Вороной (кубические иррациональности, единицы кубических полей), Марков (кубическое поле), Сохоцкий (теория идеалов) и другие.