Базис векторного пространства и разложение вектора по базису.

Date: 2015-10-07; view: 440.

Понятия размерности и базиса векторного пространства напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что рекомендуем при необходимости обращаться к статье линейная зависимость системы векторов, свойства линейной зависимости и независимости.

Размерностью векторного пространства называется число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Определение.

Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

Система n-линейно независимых векторов пространства Rn называется базисом, если любой вектор этого пространства можно выразить через векторы базиса.

Векторное пространство называется n-мерным, если в нем можно найти n линейно независимых векторов, но больше, чем n линейно независимых векторов оно не содержит.

Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Размерность пространства условимся обозначать через dim.

Например, размерность множества всех плоских векторов равна 2, размерность множества пространственных векторов равна 3.

Пространство, имеющее конечную размерность, называется конечномерным. Пространство, в котором можно найти сколь угодно много линейно независимых векторов, называется бесконечномерным.

Совокупность n линейно независимых векторов n- мерного векторного пространства называется его базисом.

Теорема 5.1. Каждый вектор линейного n- мерного пространства можно представить, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации векторов базиса.

Доказательство. Пусть - произвольный базис пространства и . Так как любые n+1 векторов пространства линейно зависимы, то зависимы, в частности, и векторы , т.е. существуют не равные одновременно нулю числа , такие, что

.

При этом , в противном случае хотя бы одно из чисел было бы отлично от нуля, и вектора были бы линейно зависимы. Следовательно,

.

Полагая , будем иметь .

Это представление через единственно. Доказывается от противного. Числа называются координатами вектора в базисе .

Теорема 5.2. Если - линейно независимые векторы пространства и любой вектор линейно выражается через , то эти векторы образуют базис в .

Доказательство. Векторы , по условию, линейно независимы. Покажем, что в пространстве нет более чем n линейно независимых векторов. Выберем произвольные векторов из : . По условию, каждый из них можно линейно выразить через :

Рассмотрим матрицу:

.

Так как число строк этой матрицы равно n, то ее ранг не больше, чем n, и значит, среди ее столбцов имеется не более, чем n линейно независимых. Но так как m>n,то m столбцов этой матрицы линейно зависимы. Следовательно, линейно зависимы и векторы . Итак, пространство n – мерно и - его базис.

Алгоритм разложения вектора по заданному базису:

1. Проверить линейную независимость векторов базиса (определитель из координат этих векторов не должен быть равен 0)

2. Представить данный вектор линейной комбинацией векторов базиса, обозначив при этом неизвестными искомые координаты векторов(найти в тетради)

3. Перейти к координатной форме и составить систему линейных уравнений

4. Решить систему любым способом

5. Сделать проверку