Базис и размерность линейного пространства

Date: 2015-10-07; view: 435.

Пример

Базис

Базис линейного пространства является в частности множеством линейно независимых векторов.

В векторы , и линейно независимы, так как уравнение

имеет только одно — тривиальное — решение. Векторы и являются линейно зависимыми, так как

,

а, значит,

Базис

Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

В случае, когда базис бесконечен, понятие «линейная комбинация» требует уточнения. Это ведёт к двум основным разновидностям определения:

· Базис Га́меля, в определении которого рассматриваются только конечные линейные комбинации. Базис Гамеля применяется в основном в абстрактной алгебре (в частности в линейной алгебре).

· Базис Ша́удера, в определении которого рассматриваются и бесконечные линейные комбинации, а именно — разложение вряды. Это определение применяется в основном в функциональном анализе, в частности для гильбертова пространства,

В конечномерных пространствах обе разновидности базиса совпадают.

Если в линейном пространстве существуют n линейно независимых векторов, а любые векторов линейно зависимы, то число n называется размерностью этого пространства. Пространство размерности n называется n-мерным пространством, а составляющие его векторы n-мерными.

Очевидно, что любая система векторов n-мерного пространства, содержащая векторов больше n, линейно зависима.

Определение 3.Базисом n-мерного пространства называется упорядоченная совокупность n линейно независимых векторов этого пространства.

Теорема 2.Любой вектор пространства представим в виде линейной комбинации векторов базиса, причем единственным образом.

Следовательно, если - базис n-мерного пространства, то для любого вектора найдется единственная совокупность коэффициентов :

.

Последнее равенство называют разложением вектора по базису , а коэффициенты - координатами вектора в этом базисе. Тот факт, что вектор имеет координаты в некотором базисе, будем записывать следующим образом:

.

Если известны координаты векторов и в одном и том же базисе, то сумма этих векторов и произведение вектора и числа будут в том же базисе иметь координаты

, .

Дана система векторов, заданных координатами в одном и том же базисе:

Составим матрицу из их координат

,

в k-м столбце которой стоят координаты вектора . Матрицу Х назовем матрицей системы векторов в заданном базисе.

Теорема 3.Для того чтобы s векторов n-мерного пространства были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы векторов был равен s, т.е. числу векторов.

Следовательно, для выяснения вопроса о линейной зависимости системы векторов следует вычислить ранг матрицы этих векторов r. Если ранг будет равен числу векторов r = s, то система линейно независима. Если ранг меньше числа векторов r < s, то система линейно зависима, и максимальное число линейно независимых векторов в системе, называемое рангом системы векторов, равно r. Ранг линейно независимой системы векторов равен числу векторов в системе.

Предполагается, что координаты векторов заданы в одном и том же базисе.