Определение и примеры линейных пространств

Date: 2015-10-07; view: 415.

Определение

Непустое множество называют линейным пространством (или векторным пространством), если выполняются следующие условия:

· Для любых двух элементов однозначно определён элемент , который называется суммой этих элементов и обозначается , причём

1. Коммутативность: ,

2. Ассоциативность: ,

3. Существование нуля: существует такой элемент , что ,

4. Существование противоположного элемента: для каждого существует такой , что .

· Для любого числа и любого элемента определён элемент (произведение элемента на число), причём

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

В зависимости от того, какие числа используются для построения линейного пространства, различают действительные и комплексные линейные пространства. Можно также рассматривать линейные пространства, построенные над произвольным полем.

Элементы линейного пространства часто называют векторами.

Два линейных пространства и называются изоморфными друг другу, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие, согласованное с операциями линейного пространства. Это означает, что если

,

,

и установлены следующие взаимные соответствия

,

то для любого числа должны выполняться соответствия

,

.