Решение.

Date: 2015-10-07; view: 438.

Примеры

Примером линейного пространства, является пространство геометрических радиусов-векторов на плоскости L = R2 = { x = x1·i + x2· j}: x = x1·i + x2· j, y = y1·i + y2· j, x + y = (x1+ y1)·i + ( x2+ y2)· j, α·x = (αx1)·i + (αx2)· j, 0 = 0·i + 0· j, −x = (−x1)·i +(−x2)· j. Справедливость остальных аксиом линейного пространства следует из свойств операций сложения и умножения на число действительных чисел.

Пример 1. Координатное (или арифметическое) пространство Rⁿ . Рассмотрим множество всевозможных наборов из n вещественных чисел [α₁, α₂, … , α_n] (n — фиксированное натуральное число) и определим операции сложения и умножения на число следующим образом: "x = [α₁, α₂, … , α_n] и "y = [β₁, β₂, … , β_n] и "α О R :

x Е y = [α₁ + β₁, α₂ + β₂, … , α_n + β_n] и α K x = [α · α₁, α · α₂, … , α · α_n].

Докажем, что Rⁿ — линейное пространство.

Введенные операции сложения и умножения на число являются замкнутыми в Rⁿ , так как сумма и произведение на число также являются наборами из n вещественных чисел, т.е. x Е y О Rⁿ и α K x О Rⁿ . Нулевой элемент θ = [0, 0, … , 0] и противоположный элемент −x = [ −α₁, −α₂, … , −α_n] также принадлежат Rⁿ . Выполнение аксиом 1–8 следует из правил сложения и умножения вещественных чисел. Таким образом, координатное пространство Rⁿ является линейным пространством.

Пример 2. Пространство C[a, b] — множество функций одной переменной, непрерывных на отрезке [a, b] . Рассмотрим множество функций f(t) О C[a, b] с обычными операциями сложения функций и умножения функции на число. Докажем, что C[a, b] является линейным пространством.