Решение.

Date: 2015-10-07; view: 383.

Решение.

Из теорем математического анализа известно, что сумма непрерывных функций и произведение непрерывной функции и числа также непрерывны, т.е. "f(t), g(t) О C[a, b] и "α О R f(t) + g(t) О C[a, b] и α · f(t) О C[a, b] .

Следовательно, операции сложения функций и умножения функции на число замкнуты в C[a, b] . В качестве нулевого элемента θ возьмем функцию, тождественно равную нулю, а в качестве противоположного элемента — функцию −f(t) . Аксиомы 1–8, очевидно, выполняются.

Пример 3. Пусть X — множество всевозможных наборов из n вещественных чисел [α₁, α₂, … , α₁] ( n —фиксированное натуральное число), у которых первое и последнее числа совпадают. Операции сложения и умножения на число определены обычным образом. Докажем, что множество X — линейное пространство.

"x = [α₁, α₂, … , α₁] , "y = [β₁, β₂, … , β₁] и "α О R :

x + y = [α₁ + β₁, α₂ + β₂, … , α₁ + β₁] О X

и

α · x = [α · α₁, α · α₂, … , α · α₁] О X,

т.е. операции сложения и умножения на число замкнуты в X .

В данном множестве существует нулевой элемент θ = [0, 0, … , 0] иу каждого элемента x = [α₁, α₂, … , α₁] имеется противоположный элемент −x = [ −α₁, −α₂, … , −α₁] .

Выполнение аксиом 1–8 следует из правил сложения и умножения вещественных чисел. Таким образом, множество X является линейным пространством.

Пример 4. Пусть X — множество положительных чисел, в котором операции сложения и умножения на число определены следующим образом: "x, y О X и "α О R

x Е y = x · y, α K x = x^α

Докажем, что X является линейным пространством.