Решение.

Date: 2015-10-07; view: 392.

Решение.

Очевидно, что введенные таким образом операции являются замкнутыми в данном множестве:

т.е. x Е y = x · y О X и x K y = x^α О X . В качестве нулевого элемента нужно взять единицу, а в качестве элемента, противоположного элементу x , взять 1/x .

Проверим выполнение аксиом линейного пространства: "x, y, z О X и "α, β О R

1. x · y = y · x , т.е. x Е y = y Е x ;
2. (x · y) · z = x · (y · z) , т.е. (x Е y) Е z = x Е (y Е z) ;
3. x · 1 = x , т.е. x Е θ = x ;
4. x · 1/x = 1 , т.е. x Е ( −x) = θ ;
5. (x^β)^α = x^αβ , т.е. α K (β K x) = (α · β) K x ;
6. x¹ = x , т.е. 1 K x = x ;
7. x^{α + β} = x^α · x^β , т.е. (α + β) K x = α K x Е β K x ;
8. (x · y)^α = x^α · y^α , т.е. α K (x Е y) = α K x Е α K y .

Все аксиомы выполнены, следовательно, X — линейное пространство.

Пример 6. Пусть X — множество симметричных матриц 2–ого порядка с обычными операциями сложения и умножения на число. Докажем, что X является линейным пространством.

Так как сумма любых симметричных матриц 2–ого порядка

и произведение на любое число α симметричной матрицы 2–ого порядка

— симметричные матрицы 2–ого порядка, то операции сложения и умножения на число замкнуты в данном множестве X .

Нулевой элемент — нулевая матрица 2–ого порядка, а элемент, противоположный матрице

— симметричная матрица

Выполнение аксиом 1–8 следует из правил сложения и умножения вещественных чисел. Таким образом, X — линейное пространство.