Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства. Конечномерное пространство. Базис и его свойства.

Date: 2015-10-07; view: 445.

Элементы линейного пространства – называются векторами.

Дистрибутивность

Линейное пространство: определение, единственномть нейтр. против. , умножение элементов на 0 и -1.

Множество Lназ-ся Линейным пространством (векторным пространством),если выполнены следующие условия:

1) Введена операция сложения: ∀x, y ∊ Lопределено отображение

<x, y> è z

Со свойствами коммутативности, ассоциативности, сущ. нейтр. и противоп.

2) Определена операция умножения элементов на действительное (комплексное) число

∀ λ ∊ R (λ ∊ C),∀ x ∊ Lопределено отображение:

<λ, x> è y ∊ L(обозн. y= λx), обладающее св-вами:

Сущ. нейтр, 1*х=х

λ(µx)= (λµ)x

λ(x+y)=λx+λy;

(λ+µ)x=λx+µx;

Пространство L– действительно, если умножение опред. Для real.

Умножение любого элемента лин.простр. на 0 даёт 0.

Умножение любого элемента л.п. на -1 даёт противоположный элемент данному.

Говорят, что элемент (вектор) X линейного пространства L линейно выражается через элементы (векторы) , если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов, т.е. представить в виде .

Если любой вектор системы векторов линейного пространства линейно выражается через остальные векторы системы, то система векторов называется линейно зависимой.

Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой.

Система векторов линейного пространства линейно независима тогда и только тогда, когда из равенства следует равенство нулю всех коэффициентов .

Конечномерное пространство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.

Базис -множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов

Количество базисных векторов характеризуют мерность пространства.