Вывод характеристического уравнения.

Date: 2015-10-07; view: 499.

Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования.

Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования , соответствующим собственному числу , если A(x) = λx .

Если - двумерное или трехмерное линейное пространство, то собственный вектор линейного преобразования - это такой вектор, что его образ коллинеарен самому вектору. Иными словами, после применения преобразования (в вещественном случае) может измениться длина вектора, а направление или сохранится, или изменится на противоположное, или вектор станет равным нулю (в случае ).

Характеристическим уравнением матрицы

называется уравнение

Det(A-λE)=0

Корни этого уравнения l₁, l₂, l₃ называются характеристическими числами матрицы; они всегда вещественны, если исходная матрица была симметрической.
Система уравнений

в которой l имеет одно из значений l₁, l₂, l₃ и определитель которой в силу этого равен нулю, определяет тройку чисел (x₁, x₂, x₃), соответствующую данному характеристическому числу.
Эта совокупность трех чисел (x₁, x₂, x₃) определяет вектор r=x₁i+x₂j+x₃k, называемый собственным вектором матрицы.

В раскрытом виде Характеристическое уравнение записывается так:

,

где S₁ = a₁₁ + a₂₂ +... a_nn - т. н. след матрицы, S₂ - сумма всех главных миноров 2-го порядка, т. е. миноров вида (i< k) и т.д., а S_n - определитель матрицы А.