Критерий совместности

Date: 2015-10-07; view: 409.

Системы линейных уравнений

Система линейных уравнений имеет вид:

(4.5)

Здесь а_ij и b_i (i = ; j = ) - заданные, а x_j - неизвестные вещественные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в матричном виде:

AX = B (4.6)

где A = (а_{i j}) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (4.5), которая называется матрицей системы, X = (x₁, x₂,..., x_n)^T, B = (b₁, b₂,..., b_m)^T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных x_j и из свободных членов b_i. Если все b_i=0, то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной.

Совокупность чисел называется решением системы (4.5), если после замены неизвестных числами соответственно каждое из уравнений системы превращается в верное равенство

Система (4.5) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.

Матрица

`A = ,

образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Теорема Кронекера- Капелли. Система линейных уравнений (4.5) совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц и совпадают, т.е.
.

Для множества решений системы (5.1) имеются три возможности:

1) Решений нет (в этом случае система несовместна) - если

2) Система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной) –если

3) Бесчисленное множество решений (тогда система называется неопределенной).. – если В этом случае переменных (базисные переменные) выражаются через ( ) переменных (свободные переменные).

Универсальным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод исключения неизвестных (см. ниже). В частном случае, когда матрица системы А квадратная и det(A) , можно использовать для нахождения решения формулы Крамера или матричный метод, рассмотренные ниже.