Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).

Date: 2015-10-07; view: 598.

Сущность метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований расширенная матрица системы приводится к ступенчатому виду (производя при этом элементарные преобразования только над строками матрицы). Причем выделяют две стадии метода Гаусса: прямой ход, когда мы «обнуляем» элементы под «диагональными» элементами, и обратный ход, когда мы «обнуляем» элементы над «диагональными». Если ранг матрицы r меньше числа неизвестных n, то необходимо выделить базисный минор матрицы системы. Тогда столбцы, из которых выделяется базисный минор, будут определять базисные переменные , а оставшиеся – свободные переменные. Рассмотрим алгоритм применения метода Гаусса на простых примерах.

Пример 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:

~ .

Отсюда следует, что , , т.е. исходная система несовместна. Заметим, что, применяя метод Гаусса (т.е. исключая неизвестные), мы одновременно проводим исследование системы на совместность (т.е. отыскиваем ранги матрицы системы и расширенной матрицы).

Пример 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

Решение: Исследуем систему на совместность:

~ ~ .

Отсюда следует, что – система совместна.

Поскольку ранг матрицы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество. Базисный минор |1| выделяется только из первого столбца, поэтому первая переменная x₁ - базисная, а вторая x₂ свободная. Обозначая x₂ =t, получаем общее решение системы: x₁₌ t, x₂ =t или в векторном виде , где t - произвольная постоянная.

Придавая t различные действительные значения, получаем бесконечное множество решений исходной системы.

Пример 3. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

Решение:Однородная система всегда является совместной, т.к имеет нулевое (или тривиальное) решение: . Поэтому для однородных систем особый интерес представляет вопрос о существовании ненулевых (или нетривиальных) решений.

Преобразуем расширенную матрицу системы:

~ ~ ~ ~ .

Имеем – система совместна. В качестве базисного минора выбираем , отвечающий переменным x₁ и x₂. Тогда переменная x₃ - свободная переменная. Полагая x₃ (где t – произвольная постоянная), получим

Отсюда , . Таким образом, общее решение системы имеет вид

, где t – произвольная постоянная.

Пример 4 . Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

Решение:Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками: из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2, затем третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

~ ~ ~ .

Имеем – система совместна и имеет единственное решение (ранг совпадает с числом неизвестных). Поэтому все переменные будут базисными и переходим к обратному ходу метода Гаусса, т.е. обнуляем элементы над главной диагональю:

~ ~ .

В результате всех этих преобразований x₁=-0.7, x₂=-1.2, x₃=-1.3, или в векторном виде

.

Пример 5. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений

Решение:Запишемсистему в матричной форме AX=B, где

, , .

При помощи элементарных преобразований строк приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Поменяем местами первую и вторую строки матрицы

~ .

Умножим первую строку на -3 и прибавим ко второй строке. Умножим первую строку на -4 и прибавим к третьей строке:

.

Сложим вторую и третью строки, а затем разделим вторую строку на 13:

. ~ .

Полученная матрица является ступенчатой, содержит две ненулевые строки, поэтому .

Так как ранг матриц меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений. В качестве базисного минора можно взять М= = =1 , который содержит 1-ый и 2-ой столбцы матрицы. Поэтому переменные и возьмем в качестве базисных, а переменная будет свободной. Далее, используя процедуру обратного хода метода Гаусса обнуляем верхнюю часть матрицы (т. е элемент а₁₂ ), умножив вторую строку на 3 и сложив ее со второй строкой

Полагая x₃ (где t – произвольная постоянная), получим

Отсюда , . Таким образом, общее решение системы имеет вид

, где t – произвольная постоянная.

Пример 6. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

Решение:Выпишем расширенную матрицу данной системы

Преобразуем ее следующим образом: из третьей строки вычитаем первую и вторую строки, затем к первой строки прибавляем вторую, умноженную на 3:

~ ~ .

Теперь ясно, что . Согласно теореме Кронекера - Капелли, из того, что , следует несовместность исходной системы.

Задачи:

1. Исследовать системы уравнений на совместность:

а) , б)

(Ответ: а) система совместна, т.к. .

б) система не совместна, т.к. : .)

2. Решить системы уравнений 3-мя способами: методом Крамера, матричным способом и методом Гаусса:

а)		б)
в)		г)
д)		е)
ж)		з)
и)		к)

(Ответы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ;

3. Решить системы методом Гаусса:

a)		б)
в)		г)
д)		е)
ж)		з)
и)		к)

(Ответы: а.) ; б). решений нет; в). , г). решений нет;

д). ; е). ; ж). ; з ) ); и) ; к) )