Формулы Крамера

Date: 2015-10-07; view: 582.

Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера:

x _i = D _i / D,

где D = det (a_{i j}), а D _i (i= ) получаются из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Пример 1. Решить методом Крамера систему уравнений:

Решение: Главный определитель этой системы

D = = -142 ¹ 0,

значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители D _i (i= ), получающиеся из определителя D путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при x_i, столбцом из свободных членов:

D ₁ = = - 142, D ₂ = = - 284,

D ₃ = = - 426, D ₄ = = 142.

Отсюда x₁ = D ₁/D = 1, x₂ = D ₂/D = 2, x₃ = D ₃/D = 3, x₄ = D ₄/D = -1, решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)^T.

Пример 2.Решить методом Крамера систему уравнений:.

Решение: Как и в предыдущем примере, найдем главный определитель и вспомогательные определители

Находим решение системы:

x₁ = D ₁/D = - = 1, x₂ = D ₂/D = = 2, x₃ = D ₃/D = = 3.

Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.
det A ¹ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором X = A^-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=A^-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

Пример 1. Решить матричным способом систему уравнений

Решение: Обозначим

A = , , B =^{. .}

Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B. Поскольку D = det =5 ¹ 0, то матрица A невырожденная и поэтому имеет обратную:

А^-1 = 1/D , где. - алгебраическое дополнение к элементу .

Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на матрицу A: X = A^-1B. В данном случае

A^-1 =

и, следовательно,

= .

Выполняя действия над матрицами, получим:

x₁ = 1/5(1×6+3×3-2×5) = 1/5 (6+9-10) = 1,

x₂ = 1/5 (-3×6 +1×3 - 1×5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2,

x₃ = 1/5 (1×6 - 2×3 + 3×5) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.

Итак, X = (1, -2, 3)^T.

Пример 2. Решить матричным способом систему уравнений, при этом проверив правильность вычисления обратной матрицы

Решение: Для нахождения решения с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме AX=B, где

, , .

Как и в предыдущем примере D = det =-17 ¹ 0, поэтому матрица A невырожденная и поэтому имеет обратную. Решение системы в матричной форме имеет вид , где - матрица, обратная матрице . Найдем матрицу по формуле

А^-1 = 1/D ., где =17 , - алгебраическое дополнение к элементу .

Обратная матрица имеет вид: .

Проверим правильность нахождения обратной матрицы:

Находим решение системы.

Итак, решение системы: .