Пример 2.

Date: 2015-10-07; view: 488.

Матричный способ решения систем.

Определенные системы. Правило Крамера.

В случае m≥n, если ранг системы (1) r равен n – числу неизвестных (r=n), находим единственное решение системы, применяя обратный ход алгоритма Гаусса к преобразованной треугольной матрице (U│ ). Проиллюстрируем сказанное на следующем примере.

Прямой ход включает следующие преобразования расширенной матрицы:

~

.

Отсюда r₀=r_p=3 – система совместна, ранг системы r=3 равен числу неизвестных n=3 – решение единственно. Применяя обратный ход, находим: из последней строки: х₃=3, из второй, строки: 5х₂+2х₃=16, 5х₂=10, х₂=2, из первой: х₁+3х₂+3х₃=16, х₁=16–3х₂–3х₃=1; (х₁, х₂, х₃)=(1, 2, 3).

Если исключения выполнить так же, как при обращении матрицы, то в результате матрица А преобразуется в единичную Е, а в столбец, элементы которого равны значениям искомых величин х₁, х₂, х₃, …, х_n, т. е. матрица (А½ ) преобразуется в матрицу (Е½ ). Эту разновидность метода исключения называют алгоритмом Гаусса-Жордана.

Так для рассматриваемого примера имеем:

,

=(х₁, х₂, х₃)=(1, 2, 3).

Докажем критерий определенности системы (1) в случае m=n.

Теорема 2. Для квадратной матрицы А=А_(n) уравнение А· = имеет единственное решение в том и только в том случае, когда матрица А невырожденная (ранг системы (1) совпадает с числом неизвестных).

Доказательство. Если А невырожденная, то =А^-1· является решением уравнения А· = , так как А· =А·А^-1 =Е· = . Пусть – другое решение: А· = , тогда =А^-1· и – = , то есть = – решение единственно.

Обратно, если решение единственно, то уравнение А· = имеет только тривиальное ( = ) решение, а тогда ранг матрицы А r(А_(n))=n и матрица невырожденная (в противном случае существует нетривиальное решение).

В случае, когда число уравнений m совпадает с числом неизвестных n, мы сформулируем без доказательства ставшее классическим правило Крамера для решения системы (1). Оно является важным теоретическим результатом и даже полезным, когда порядок матрицы системы невелик.

Теорема 3. (Крамер). Если определитель ∆ системы отличен от нуля (∆=½А½¹0), то система (1) (при m=n) имеет единственное решение, которое находится по формулам: , i=1, 2, …, n, где ∆_i ( ) получается из определителя системы ∆ заменой i-го столбца коэффициентов матрицы А_(n)=(а_ij) столбцом свободных членов .

Пример 3.Найдем решение системы из примера 6, § 1 по формулам Крамера:

Определитель системы отличен от нуля. Вычислим определители:

, .

Тогда система из двух уравнений с двумя неизвестными имеет единственное решение:

, ,

или (x₁, x₂)=(1/2, 3/2).

При m=n и ∆¹0 в системе (1) формулы Крамера, записанные в векторной форме, позволяют компактно определить обратную матрицу А^-1 к матрице А=А_(n) и найти решение уравнения А· = матричным способом по формуле: =А^-1· .

Действительно, разлагая определитель ∆_j( ) по элементам j–го столбца будем иметь:

, где =(А_1j, А_2j, …, А_nj) j-ая вектор- строка из алгебраических дополнений матрицы А с соответствующим элементам вектор- столбца =(b₁, b₂, …, b_n), j=1, 2, …, n.

Тогда получим:

,

, - обратная матрица к матрице , где в матрице А^-1 на месте (i, j) стоит алгебраическое дополнение А_ij элемента а_ij матрицы А; i, j=1, 2, …, n.

Пример 4. Решить матричным способом систему (см. пример 2):

Вычислим определитель ∆ системы, используя его свойства:

.

Так как ∆=26¹0, то матрица

- невырожденная и существует обратная к ней:

.

Найдем алгебраические дополнения А_ij элементов а_ij матрицы А:

, , ,

, , ,

, , .

Получим обратную матрицу (сделайте проверку):

и решение системы А· = по формуле =А^-1· :

.

Из теоремы 2 и теоремы 3 вытекает следующее.

Следствие. Пусть А=А_(n) – квадратная матрица однородной системы (1) из n уравнений с n неизвестными.

Для того, чтобы однородная система имела единственное тривиальное решение ==(0, 0, …, 0), необходимо и достаточно, чтобы определитель системы ∆ был не равен нулю (∆=½А½¹0).

Необходимость выполнения условий следствия, то есть ½А½¹0, следует из теоремы 2, а также из таких рассуждений. Любое решение (х₁, х₂, …, х_n) однородной системы можно записать в векторной форме: х₁ +х₂ +…+х_n = , где – вектор-столбец коэффициентов при х_i, i=1, 2, …, n. Следовательно, единственное тривиальное решение х₁=х₂=…=х_n=0 в этой линейной комбинации означает линейную независимость n вектор–столбцов матрицы А, ранг r(А)=n. Что равносильно неравеству нулю определителя матрици (½А½¹0).

Достаточность следует из теоремы 3, так как при = все определители ∆_j( )=0 (равносильно: =А^-1· = (и имеем только тривиальное решение.

Пример 5. Решить систему:

Так как определитель системы ∆=26 (см. пример 4) не равен нулю, то система имеет только тривиальное решение: х₁=х₂=х₃=0.