Евклидово пространство.

Date: 2015-10-07; view: 369.

Переход к новому базису.

16. Линейные операторы: основные понятия, зависимость между матрицами оператора в разных базисах.

Оператором А называется закон(в соответствии с правилом) при котором каждому элементу из пространства ставится в соответствие единственный элемент из пространства .

Оператор А называется линейным, если для любых векторов х,у из пространства и для любого действительного числа альфа выполняется 2 условия:

1.

2.

Каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Верно и обратное: всякой матрице n-ого порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства.

Зависимость между матрицами одного и того же оператора в разных базисах определяется следующей теоремой.

Т. Пусть А-матрица оператора в старом базисе; А(со звездочкой)-матрица того же оператора в новом базисе, тогда матрицы А и А(со з.) связаны между собой следующим соотношением

Где С-матрица перехода от старого базиса к новому.

Линейное пространство, в котором задается скалярное произведение, удовлетворяющее свойствам скалярного произведения, называется евклидовым пространством.

Свойства скалярного произведения векторов

Длиной вектора в евклидовом пространстве называется квадратный корень из его скалярного произведения

Угол между векторами х и у определяется равенством:

2 вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Нулевой вектор ортогонален любому другому вектору.

Векторы L1?L2...Ln n-мерного евклидового пространства образуют ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и длина каждого вектора равна 1.

Т. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.