Квадратичные формы. Закон инерции квадратичных форм, критерий Сильвестра.

Date: 2015-10-07; view: 377.

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Вектор Х отличный от нуля называется собственным вектором линейного оператора а, если существует такое число лямбда, что образ вектора Х относительно оператора а равен (лямбда)х.

При этом число лямбда называется собственным значением линейного оператора а.

Алгоритм нахождения:

1.Составляем характеристическое уравнение.

2.Решаем полученное уравнение, находим собственные значения линейного оператора.

3.Находим собственный вектор, соответствующий каждому собственному значению.

Для этого в уравнение…………………вместо лямбда подставляем найденные собственные значения и решаем полученную систему.

Утверждение: Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса. В качестве базиса можно взять систему векторов, состоящую из собственных векторов линейного оператора. Тогда матрица оператора а в базисе, состоящем из его собственных векторов является диагональю и имеет вид………………..

Верно и обратное: Если матрица линейного оператора в некотором базисе является диагональю, то все векторы данного базиса являются собственными векторами линейного оператора а.

Квадратичн. формы L(x1,x2,….xn) называется сумма, каждый член которой явл либо квадратом одной из переменной, либо произведением 2х переменных, взятых с некоторым коэффициентом.

L= XAX(транспонир.)

Если м-ца невырождена

Ф-ла:

Квадр.форма называется канонической, если все коэффициенты при смешанных произведениях перемешанных равны нулю.

Т.Любая квадр. Форм.с помощью невырожденных линейных преобразований переменных может быть приведена к каноническому виду.

Т.(ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВ ФОРМ). Число слагаемых с полож(отриц)коэффициентами не зависят от способа приведения формы к каноническому виду.

ОпР!Квадр форм называется полож(отриц)определенной, если при всех значениях переменной, из которых хотя бы одно отлично от нуля.

Критерий Сильвестра:Для того, чтобы квадр форм была положит определеннной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры этой формы были положительны, т.е.

Следствие:Для того, чтобы кв форма была отриц определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главн миноров матриц чередовались, причем первый отрицательн.