Разделы (темы) дисциплины и виды занятий

Date: 2015-10-07; view: 426.

Содержание разделов (тем) дисциплины

Содержание дисциплины

Владеть

Уметь

Знать

· понятия переменной, константы, множества, кортежа (вектора), соответствия, отношения, отображения, функции, операции, группоида, полугруппы, группы, кольца, поля, алгебры, алгебраической системы;

· основные операции над высказываниями, высказывательными формами, предикатами, множествами, отношениями;

· выражать содержательные высказывания в математической форме;

· доказывать утверждения на математическом языке путём логических рассуждений;

· в совершенстве начальными понятиями математики;

· навыками уточнения языка используемых понятий.

4. Объём дисциплины и виды учебной работы (часы):

Тема 1. Введение в математический язык

1. Переменная

Буква, алфавит, слово, язык. Выражение. Константа. Переменная, область значений (определения), тип переменной, числовая, высказывательная, истинностная, натуральная, рациональная, комплексная, вещественная константа и переменная. Форма, свободное и связанное вхождения переменной, арность (местность), допустимое значение переменной (относительно формы), частично, всюду и нигде не определённая формы, зависимость формы от переменной, значение формы при заданных значениях переменных, равносильность форм, тип формы, числовая и высказывательная формы. Имя. Разные смыслы употребления знака = : два имени одного предмета, уравнение, равносильность, определение, отождествление.

2. Высказывания и логические союзы.

Высказывание; союзы: или, и, не, если-то, необходимо и достаточно, если и только если, тогда и только тогда, необходимо, достаточно, тогда, только тогда, если (в определении), обозначения; термины: условие (посылка), заключение, обратная теорема, взаимно обратные теоремы, взаимно противоположные теоремы, необходимое условие, достаточное условие; закон контрапозиции.

3. Элементы алгебры высказываний и их применение в математических доказательствах.

4. Предикаты и кванторы

Расчленение высказывания на предикат и субъект. Зависимость истинностного значения предиката от значения субъекта. Кванторы общности и существования.

5. Элементы логики предикатов и их применение в математических доказательствах.

Тема 2. Множества

6. Множество, элемент, принадлежность, пустое, универсальное, конечное, бесконечное, обозначения, способы задания, равенство множеств.

7. Определения и доказательства по индукции. База, предположение, шаг и заключение индукции. Простейшие примеры индуктивных определений и доказательств.

8. Подмножество, включение, свойство транзитивности, собственное (несобственное) подмножество, число k-элементных и число всех подмножеств n-элементного множества.

9. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение, симметрическая разность, диаграммы Эйлера-Венна. Доказательство равенств множеств. Основные тождества с множествами (законы алгебры множеств — идемпотентности, коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, поглощения, де Моргана).

10. Кортеж (вектор), компонента, длина, пара, тройка, n-ка, равенство кортежей, кортеж над множеством, число кортежей длины k над n-элементным множеством, проекция кортежа.

11. Булевы векторы и представление ими подмножеств универсального множества. Сравнение булевых векторов и отношение включения между подмножествами. Операции над булевыми векторами и над представляемыми ими подмножествами.

12. Разбиение множества. Рекуррентная формула для числа разбиений конечного множества.

13. Декартово (прямое) произведение множеств, степень множества, число элементов произведения конечных множеств, проекция подмножества декартова произведения.

14. Мощность множества. Равномощные множества. Кардинальное число множества. Счётные множества и их свойства. Примеры несчётных множеств. Теорема Кантора-Бернштейна. Множества мощности континуум.

Тема 3. Отношения

15. Определение отношения, его арность. Связь отношений с предикатами. Бинарные отношения. Булева матрица и граф бинарного отношения.

16. Операции над отношениями. Теоретико-множественные операции. Обращение и умножение бинарных отношений. Возведение в степень и транзитивное замыкание бинарного отношения.

17. Операции над булевыми матрицами и представляемыми ими бинарными отношениями. Графическая интерпретация операций над отношениями.

18. Свойства операций над бинарными отношениями.

19. Важнейшие свойства бинарных отношения: рефлексивность, симметричность, транзитивность, антисимметричность. Простейшие тесты для них.

20. Отношение эквивалентности и разбиение на классы. Фактор-множество. Главная теорема математики.

21. Матрица и граф отношения эквивалентности.

22. Операции над эквивалентностями.

23. Отношение частичного порядка. Сравнение по порядку. Линейный порядок. Минимальный, максимальный, наименьший, наибольший элементы в частично упорядоченном множестве. Диаграмма Хассе. Интервал. Количество интервалов в декартовой степени множества {0, 1, …, k — 1}.

24. Решётки. Операции сложения и умножения в решётке и их свойства. Верхняя и нижняя полурешётки.

25. Отображения и их свойства: инъективность, сюръективность и биективность. Полное и частичное отображения. Функции как отображения. Область определения и область значений. Тождественное отображение. Обратная функция. Произведение отображений. Полный прообраз и ядерная эквивалентность. Подстановки и их количество на конечном множестве.

Тема 4. Алгебраические системы

26. Алгебраическая система: определение и примеры. Алгебры и модели. Гомоморфизмы, изоморфизмы, автоморфизмы алгебраических систем.

27. Подсистемы. Порождающие множества. Пересечение и объединение подсистем. Сохранение свойства подсистемы при гомоморфизме.

28. Конгруенции. Отношения, сохраняемые алгебраической операцией. Произведение и пересечение конгруенций.

29. Фактор-системы. Теоремы о гомоморфизмах алгебраических систем.

30. Классические алгебры. Определения и примеры группоида, полугруппы. группы, кольца, поля.

6. Лабораторный практикум Не предусмотрен.