Лемма об элементарных преобразованиях матрицы системы.

Date: 2015-10-07; view: 468.

Лемма об элементарных преобразованиях матрицы системы. Метод Гаусса.

Пусть – расширенная матрица система. Тогда:

1)При элементарных преобразованиях со строками матрицы системы переходит в равносильную.

2)Элементарное преобразование 1') матрицы соответствует перенумерации переменных.

3)При элементарных преобразованиях 1) 2) 3) матрицы и элементарном преобразовании 1') матрицы , из совместной => совместную; из несовместной => несовместную; из определенной => определенную; из неопределенной => неопределенную.

Доказательство.

1)Система с рациональной матрицей .

Пусть из (*) получена система (**).

Докажем, что если – решение системы (*), то – решение системы (**).

1) Перестановка уравнений.

2) Умножение строки на ненулевое число .

Если верно, то и тоже верно.

Эти две части умножим на .

Преобразование 3. Прибавим к строке строку умноженную на .

Докажем, что любое решение второй матрицы является решением первой матрицы.

По лемме об обратных элементарных преобразований, то систему (**) можно получить из системы (*) преобразованиями такого же типа.

Любое решение первой системы является решением второй системы.

2)Поменяем и столбец.

Поменяли местами коэффициенты и .

3)Следует из 1 и 2.