Теорема.

Date: 2015-10-07; view: 441.

Теорема Кронекера-Капелли.

Система уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

Доказательство.

Приведем матрицу систему к упрощенному виду преобразованиями 1) 2) 3) со строками расширенной матрицы и 1',2' со столбцами матрицы системы.

По теореме о ранге и элементарном преобразовании ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы не изменились.

По лемме об элементарном преобразовании матрицы системы: совместная матрица => в совместную; несовместная матрица => в несовместную.

Случай 1.

система совместна.

, по теореме о ранге матрицы упрощенного вида.

Случай 2.

Не все числа равны 0.

Пусть ; система несовместна.

, по теореме о ранге матрицы упрощенного вида.

Докажем, что , т.е. что есть ненулевой минор порядка .

Минор: строки столбца: .

Разложим по последней строке.

=> x – ненулевой минор порядка => =>