Теорема.

Date: 2015-10-07; view: 419.

Теорема о количестве свободных переменных. Следствия из нее.

Дана система линейных уравнений с n неизвестных. Предположим, что система совместна. Пусть r – ранг матрицы системы.

1)Если , то система – определенная.

2)Если , то система – неопределенная. Имеет бесконечно много решений.

Можно выбрать переменных так, что при любых их значениях остальные r переменные определяются однозначно. (т.е. есть свободных переменных).

Доказательство.

Приведем матрицу систему к упрощенному виду. Преобразовав 1, 2, 3 со строками расширенной матрицы и 1' со столбцами матрицы системы.

По лемме об элементарных преобразованиях матрицы системы, количество свободных переменных не изменяется.

По теореме о ранге и элементарных преобразованиях не изменяется.

Следствие 1.

Система линейных уравнений может иметь 0, 1 или бесконечно много решений.

Доказательство.

Несовместна – 0 решений.

Совместна – по доказательству теоремы либо определенная (1 решение, не свободных переменных), либо есть свободная переменная => бесконечна.

Следствие 2.

Если количество уравнений меньше, чем количество неизвестных, то система либо несовместная, либо неопределенная.

Доказательство.

Пусть m уравнений, n неизвестно .

Предположим, что система совместная.

, (размер минора не больше, чем количество строк) => => система неопределенная.

Следствие 3.

Дана система из n линейных уравнений с n неизвестными. Пусть A – матрица сиcтема,

1)Если r=n, то система определенная. (при любых свободных членах).

2)Если r<n, то система либо несовместная, либо неопределенная.