rus | ua | other

Ранг ступенчатой матрицы равен числу её строк.

Date: 2015-10-07; view: 489.

Вариант 10

Вариант 9

Вариант 8

Вариант 7

Вариант 6

Вариант 5

Вариант 4

Вариант 3

Вариант 2

Вариант 1

Линейная алгебра

Кафедра математических методов в экономике

Варианты заданий к контрольной работе № 1 по дисциплине «Линейная алгебра» для студентов заочного факультета направления 080100 «Экономика»

Магнитогорск 2011

1. Предприятие выпускает m видов изделий с использованием k видов сырья. Нормы расхода сырья для производства единицы продукции каждого вида даны матрицей А_m×_k. Стоимость единицы сырья задана матрицей С. Найти затраты каждого вида сырья при заданном плане выпуска Q и суммарные затраты на сырье. Представить результаты с помощью матриц A, C, Q.

А= С= Q=

2. Решить матричное уравнение

(5E+A)•X•B = 4•C, где A= , B= , C= .

3. Предприятие специализируется по выпуску изделий трех видов: A, B, C; при этом используется сырье трех типов: S₁, S₂, S₃. Нормы расхода каждого вида сырья на единицу изделия каждого вида и объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей:

Вид сырья	Расходы сырья на единицу продукции, усл. ед.	Запасы сырья на один день, усл. ед.
A	B	C
S₁
S₂
S₃

Найти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида.

Получить систему уравнений и решить ее тремя способами: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса.

4. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное решение системы уравнений

2x₁+x₂-x₃-x₄+3x₅=3

5x₁+4x₂-4x₃-4x₄+15x₅=9

3x₁+2x₂-2x₃-2x₄+7x₅=5

5. Найти общее решение системы линейных уравнений и все базисные решения

x₁+x₂+2x₃-3x₄=5

x₁+2x₂+3x₃-5x₄=1

6. Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого A (-1;-2;3), B(-4;1;2), C(5;2;7). Найти четвертую вершину и острый угол параллелограмма.

7. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами A(3;4), B(2;-1), C(1;-7). Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую АВ.

А= С= Q=

2. Решить матричное уравнение

(3E+A)•X•(B-4E) = C, где A= , B= , C= .

Вид сырья	Расходы сырья на единицу продукции, усл. ед.	Запасы сырья на один день, усл. ед.
A	B	C
S₁
S₂
S₃

Найти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида.

4. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное решение системы уравнений

7x₁- 2x₂+2x₃- 2x₄+ 3x₅=12

2x₁- x₂+ x₃- x₄+ 3x₅=3

x₁+ x₂- x₃+ x₄- 6x₅=3

5. Найти общее решение системы линейных уравнений и все базисные решения

x₁+ x₂– x₃+ x₄= 2

-x₁+ 2x₂+ x₃- 2x₄= -1

6. Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого A (1;2;3), B(3;-4;-2), C(-4;-3;2). Найти четвертую вершину и острый угол параллелограмма.

А= С= Q=

2. Решить матричное уравнение

(A²-2E)•X•B = 4•C, где A= , B= , C= .

Вид сырья	Расходы сырья на единицу продукции, усл. ед.	Запасы сырья на один день, усл. ед.
A	B	C
S₁
S₂
S₃

Найти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида.

4. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное решение системы уравнений

x₁+ x₂+x₃- x₄+ x₅=1

x₁+ x₂+ 3x₃- 2x₄+ x₅=8

x₁+ x₂- 5x₃+ x₄+ 2x₅= -10

5. Найти общее решение системы линейных уравнений и все базисные решения

2x₁+ x₂+ 2x₃=3

3x₁+2x₂+ 4x₃– x₄=9

6. Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого A (2;-3;-1), B(-3;5;3), C(4;3;-4). Найти четвертую вершину и острый угол параллелограмма.

7. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами A(-3;5), B(4;-3), C(-2;-4) и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую АВ.

А= С= Q=

2. Решить матричное уравнение

0,2A²•X•B = 2•C, где A= , B= , C= .

Вид сырья	Расходы сырья на единицу продукции, усл. ед.	Запасы сырья на один день, усл. ед.
A	B	C
S₁
S₂
S₃

Найти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида.

4. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное решение системы уравнений

2x₁- x₂+4x₃+x₄=9

x₁- 2x₂- 3x₃- x₄= -1

2x₁+ x₂ + 4x₃- x₄=11

3x₁- 2x₂+ x₃- x₄=9

5. Найти общее решение системы линейных уравнений и все базисные решения

2x₁- x₂+ x₃= -1

x₁+ x₂+ x₃- x₄=5

6. Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого A (3;-4;2), B(-5;2;-3), C(-1;7;-1). Найти четвертую вершину и острый угол параллелограмма.

7. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами A(3;2), B(-5;-4), C(-1;6) и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую АВ.

А= С= Q=

2. Решить матричное уравнение

(4E+A)•X•B = 50•C, где A= , B= , C= .

Вид сырья	Расходы сырья на единицу продукции, усл. ед.	Запасы сырья на один день, усл. ед.
A	B	C
S₁
S₂
S₃

Найти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида.

4. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное решение системы уравнений

x₁+ 2x₂- 3x₃-4x₄= 4

2x₁+ 3x₂- 4x₃- 5x₄= 4

x₁+ x₂ - 2x₃- 2x₄= 2

4x₁+ 3x₂- 4x₃- 6x₄= 3

5. Найти общее решение системы линейных уравнений и все базисные решения

x₁+ x₂+ x₃+ x₄=1

x₁- 2x₂+2x₃+ x₄= -2

6. Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого A (-5;2;4), B(-3;-4;2), C(6;-3;-3). Найти четвертую вершину и острый угол параллелограмма.

7. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами A(2;5), B(-3;4), C(-4;-2). Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую АВ.

А= С= Q=

2. Решить матричное уравнение

(3E-A)•X•B² = 2•C, где A= , B= , C= .

Вид сырья	Расходы сырья на единицу продукции, усл. ед.	Запасы сырья на один день, усл. ед.
A	B	C
S₁
S₂
S₃

Найти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида.

4. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное решение системы уравнений

x₁+ 2x₂- 2x₃+ x₄= 3

2x₁+ 3x₂- 3x₃+ 5x₄= -3

x₁- x₂ + x₃= -2

2x₁- x₂+ x₃- 3x₄= 4

5. Найти общее решение системы линейных уравнений и все базисные решения

x₁+ 2x₂+ 3x₃- 6x₄=9

2x₁+ 5x₂+ 3x₃- 16x₄=28

6. Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого A (-4;-3;5), B(2;-5;6), C(-2;3;-5). Найти четвертую вершину и острый угол параллелограмма.

7. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами A(-3;2), B(-2;-5), C(6;-1) и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую АВ.

А= С= Q=

2. Решить матричное уравнение

(5E-A)•X•B = 4•C, где A= , B= , C= .

Вид сырья	Расходы сырья на единицу продукции, усл. ед.	Запасы сырья на один день, усл. ед.
A	B	C
S₁
S₂
S₃

Найти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида.

4. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное решение системы уравнений

x₁- 2x₂+3x₃- 4x₄+2x₅= 0

x₁+2x₂- x₃- x₅= 1

x₁- x₂+2x₃- 3x₄ = -1

x₂- x₃+ x₄- 2x₅= -1

5. Найти общее решение системы линейных уравнений и все базисные решения

-3x₁+ x₂- 4x₃+ 2x₄= 9

5x₁- 2x₂+ 7x₃- 3x₄= -15

6. Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого A (4;2;-3), B(-5;6;-4), C(-2;-3;4). Найти четвертую вершину и острый угол параллелограмма.

7. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами A(-6;-4), B(3;-7), C(1;2). Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую АВ.

А= С= Q=

2. Решить матричное уравнение

(2E+A)•X•B² = 6E+C, где A= , B= , C= .

Вид сырья	Расходы сырья на единицу продукции, усл. ед.	Запасы сырья на один день, усл. ед.
A	B	C
S₁
S₂
S₃

Найти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида.

4. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное решение системы уравнений

x₁+ 3x₂+2x₃- 2x₄+ x₅=5

x₁- 2x₂+ x₃- x₄- x₅= -2

x₁- 4x₂+ x₃+ x₄- x₅= -2

3x₁- 3x₂+ 4x₃- 2x₄- x₅= 1

5. Найти общее решение системы линейных уравнений и все базисные решения

x₁+ x₂- x₃+ x₄= 2

x₁+ 2x₂- 2x₃+ 4x₄= 3

6. Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого A (-4;5;-2), B(-1;-5;8), C(3;-2;4). Найти четвертую вершину и острый угол параллелограмма.

7. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами A(2;1), B(-7;3), C(-4;-3) и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую АВ.

А= С= Q=

2. Решить матричное уравнение

(5E+A)•X•(E+B) = 4•C, где A= , B= , C= .

Вид сырья	Расходы сырья на единицу продукции, усл. ед.	Запасы сырья на один день, усл. ед.
A	B	C
S₁
S₂
S₃

Найти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида.

4. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное решение системы уравнений

2x₁- x₂+ x₃+ x₄+ x₅= 4

5x₂- x₃+ 5x₄+ 3x₅= -4

x₁+ x₂+3x₃+ 2x₅= 1

-3x₁+ 3x₂- 2x₃+ x₄+ = -7

5. Найти общее решение системы линейных уравнений и все базисные решения

2x₁+ 3x₂+ x₃- 8x₄= 9

x₁+ 3x₂+ 2x₃-10x₄= 18

6. Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого A (-5;-3;-2), B(3;-4;-5), C(4;2;3). Найти четвертую вершину и острый угол параллелограмма.

7. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами A(-3;-4), B(-6;7), C(-1;1). Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую АВ.

А= С= Q=

2. Решить матричное уравнение

A²•X•B = 2•C, где A= , B= , C= .

Вид сырья	Расходы сырья на единицу продукции, усл. ед.	Запасы сырья на один день, усл. ед.
A	B	C
S₁
S₂
S₃

Найти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида.

4. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное решение системы уравнений

3x₁- x₂+ 3x₃+ 2x₄+ 5x₅= 6

5x₁- 3x₂+ 2x₃+ 3x₄+ 4x₅= 7

x₁- 3x₂- 5x₃- 7x₅= -4

7x₁- 5x₂+ x₃+ 4x₄+ x₅= 6

5. Найти общее решение системы линейных уравнений и все базисные решения

5x₁+ 3x₂+ 6x₃- x₄= 12

x₁+ x₂+ 2x₃- x₄= -6

6. Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого A (-3;2;6), B(-4;-5;-2), C(1;-3;-5). Найти четвертую вершину и острый угол параллелограмма.

7. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами A(4;5), B(2;2), C(7;4) и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую АВ.

Доказательство:

Рассмотрим матрицу А:

Составим минор порядка m, выбрав столбцы, нулевые элементы которых стоят внутри ступенек. Получим минор M размера mxm:

ð r(A) = m, т.е. числу ступенек.

При элементарных преобразованиях над строками/столбцами матрицы её ранг не изменяется.

Доказательство: рассмотрим каждое элементарное преобразование в отдельности. При умножении любой строки на число, не равное нулю, миноры этой матрицы не изменяются и очевидно, что наивысший порядок в минорах не изменится. При перестановке 2х строк местами изменившиеся миноры поменяют знак. При умножении одной строки на любое число и добавления её к другой строке:

Пусть ранг А = k, покажем, что ранг B k. Для этого достаточно показать, что каждый минор матрицы В порядка выше, чем k = 0. Пусть D – минор матрицы В порядка выше, чем k. Возможны 3 различных случая:

1. Детерминант минора не содержит i-ой строки матрицы В. В этом случае D совпадает с соответствующим минором матрицы А, т.к. ранг матрицы А = k, то D = 0.

2. D содержит i и j строки: По 9 свойству детерминанта(детерминант не изменится, если к любой строке добавить другую строку, умноженную на число) определитель(минор) не изменится, т.е. равен соответствующему минору матрицы А = 0.

3. D содержит i строку и не содержит j строку. Тогда по свойству D = D₁+D₂. D₁ совпадает с минором матрицы А и равен нулю. А D₂– то, что осталось от остальных слагаемых и равен соответствующему минору матрицы А, умноженной на и равно 0 => D = 0 => r(B) = r(A) = k. Доказано.

Строки матрицы А линейно зависимы, если можно подобрать такие числа k₁,k₂,…,k_n, не равные нулю одновременно, что , где 0 – нулевая строка.

Теорема о ранге матрицы: Если ранг матрицы А равен k, то в этой матрице можно найти k линейно независимых строк, через которые линейно выражаются все остальные строки.

Доказательство: пусть дана матрица А _mxn и пусть r(A) = k и пусть D – минор k-ого порядка ≠ 0. Такой минор называется базисным. Для определенности будем считать, что он расположен в левом верхнем углу. Покажем, что первые k строк матрицы А линейно независимые. Предположим противное, что одна из строк линейно выражается через остальные, т.е. . Умножим первую строку на (-c₁) и прибавим её к k-ой строке. Умножим вторую строку на (-c₂) и прибавим её к k-ой строке. И так далее до k-ой строки. В итоге получим, что определитель базисного минора равен нулю, что противоречит условию. Доказано.

Правило Крамера:

Если определитель квадратной матрицы не равен нулю, то её решение можно найти по формуле Крамера:

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Теорема Кронекера-Капелли. Произвольная система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда r(A) = r( ).

Доказательство:

Необходимость: Пусть система совместна и x₁ = , x₂ = ,…, x_n = - некоторые решения, подставив , ,…, - получим тождество:

Столбцы свободных членов являются линейной комбинацией столбцов матрицы А системы. Прибавим к последнему столбцу матрицы её первый столбец, умноженный на (- ), умножим второй столбец на (- ) и добавим к последнему и так далее до n включительно. В итоге получим матрицу С вида:

r(C) = r( ), r(C) = r(A) => r( ) = r(A).

Достаточность: пусть r( ) = r(A) = k. Для определенности предположим, что определитель k-ого порядка не равен 0 и расположен в левом верхнем углу:

Тогда первые k строк матриц А и линейно независимые, а остальные можно выбросить, т.к. они являются их линейной комбинацией.

Возможно два случая:

1. k = n. Тогда можно решить методом Крамера.

2. k<n. Тогда в левой половине оставим k неизвестных, а остальные перенесем вправо. Неизвестные этого минора мы назовем базисными, а остальные - свободные. Свободным неизвестным можно давать любые значения, получая при этом значения базисных решений. Доказано.

Метод Гаусса:

1. Привести матрицу (расширенную) к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований и вычеркиванием нулевых строк. Неизвестные, соответствующие базисному минору, называются базисные, остальные неизвестные – свободные.

2. Все свободные неизвестные перенести в правую часть каждого из уравнений.

3. Совершая элементарные преобразования над строками матрицы снизу вверх, превращаем матрицу в диагональную, а потом в единичную.

Таким образом базисные элементы не зависят друг от друга .

Однородная система - система линейных алгебраических уравнений с нулевой правой частью.

Свойства решений системы линейной однородных уравнений:

Пусть e₁и e₂- два любых решения однородной системы.

A*e₁=0, A*e₂=0, следовательно c*e₁ – тоже решение и e₁+e₂ тоже решение.

Доказательство:

A*(c*e)= c (A*e) = c * 0 = 0;

A*(e₁ + e₂) = A*e₁ + A*e₂ = 0 + 0 = 0. Доказано.

Если e₁,e₂,…,e_n – произвольные решения системы, то линейные комбинации c₁*e₁+ c₂*e₂+…+ c_ne_n тоже будут решением.

Фундаментальная система решения(ФСР) – линейно независимые решения системы уравнений e₁,e₂,…,e_n, удовлетворяющих уравнению A*x = 0.

Теорема о существовании ФСР:

Если r(A) = k < n, то система A*x = 0 обладает ФСР.

Доказательство:

Пусть А – матрица системы:

Уравнения от k до n являются следствием первых k уравнений, поэтому оставим первые k уравнений. Перенесем все неизвестные за знак равенства, получим:

Пусть , тогда , получим:

( )

Пусть , тогда , получим:

( )

Пусть , тогда , получим:

( )

Получим n-k решений, запишем их по строке:

Минор справа не равен 0, а значит все решения линейно независимые.

Докажем, что любое решение, деленое на e будет являться линейной комбинацией:

e₁= ;

e₂= ;

……………………..........

e_n= ;

e₀=

Рассмотрим матрицу e₀= (1)

тоже решение.

e₀= (0;0;…;0). Подставим в (1), получим:

0 =

, доказано.

Общее решение неоднородной системы = частное решение неоднородной системы + общее решение однородной системы.

Вектор – направленный отрезок, один из концов которого – начало, другой – конец.

Линейные операции:

1. Сложение: сумма двух векторов – третий вектор, направленный из начала первого вектора в конец второго.

2. Умножение вектора на число – вектор, параллельный первому вектору, модуль его равен модулю, умноженному на число и если число отрицательное, то меняется направление вектора.

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Любые два вектора компланарны.

Векторы коллинеарны, если существует прямая которой они параллельны.

Лемма: если вектор b коллинеарен ненулевому вектору a, то

Если вектор b компланарен с некоторыми векторами a₁,a₂, то существует единственное разложение в виде линейной комбинации векторов a₁,a₂

Доказательство: существование:

Рассмотрим OP и OQ, по правилу параллелограмму, // , по лемме . Аналогично, .

Единственность: предположим, что

Тогда , . Т.к. разложение различное, то одна из скобок отлична от нуля. Пусть это будет первая скобка, разделим на неё, получим:

, что противоречит условию. Доказано.

Если a₁,a₂,a₃ – некомпланарные вектора, то для любого разложение в виде линейной комбинации векторов a₁,a₂,a_3,т.е. . Доказательство: Во многом похоже на предыдущее.

Базис на плоскости – упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

Базис в пространстве – упорядоченная тройка неколлинеарных векторов.

Орт – единичный вектор.

Совокупность т.O и ортонормированного базиса i,j,k, приложенного к т.O, называют прямоугольным(декартовым) системой координат, т.O – начало координат, а базисные векторы задают направления осей.

Деление отрезка в заданном отношении:

- известно.

, .

Проекция вектора a равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и направляющим вектором.

пр_ea= .

Доказательство: возможны три случая:

1. Угол острый:

пр_L_,из треугольника ABB₁:

2. Угол прямой:

пр_L

3. Угол тупой:

пр_L

Скалярным произведением вектора a на вектор b называется число(скаляр)

Свойства скалярного произведения:

1. ( )≥0. Доказательство: ( ) = * *Cos0 = ²≥0. Доказано.

2. ( ) = ( ). Доказательство: очевидно.

3. (a,b+c)=(a,b)+(a,c). Доказательство: воспользуемся связью между проекциями: (a,b+c)=|a|*пр_a(b+c)=|a|*(пр_ab+пр_ac)=|a|*пр_ab+|a|*пр_ac=(a,b)+(a,c).

4. Доказательство: воспользуемся связью между проекциями: .

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c =

Свойства векторного произведения:

1. [a,a] = 0.

2. [a,b]=-[b,a].

3. [(a+b),c]=[a,b]+[a,c].

4. [a,[b,c]]=b(a,c)-c(a,b).

Смешанное произведение – скалярное произведение вектора a на векторное произведение вектора b на вектор c. .

Свойства смешанного произведения:

3. Если 3 вектора коллинеарные (т.е. лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно 0.

Прямая на плоскости:

Общее уравнение: Ax+By+C=0, координаты вектора нормали (A,B).

Уравнение прямой в отрезках: .

Нормальное уравнение прямой: , где - угол между прямой и осью икс, - расстояние от начала координат.

Каноническое уравнение прямой:

Уравнение прямой через две точки:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту: или y = kx + b.

Параметрическое уравнение прямой:

Взаимное расположение прямых:

Лежат на одной прямой, если .

Параллельны, если

Пересекаются, если .

Угол между прямыми фактически равен углу между нормалями прямых: , .

Условия перпендикулярности: прямые перпендикуляры, если перпендикулярны их нормали, т.е. если

Расстояние от точки до прямой на плоскости:

Плоскость в пространстве:

Общее уравнение: Ax+By+Cz+D=0, координаты нормали (A,B,C).

Уравнение плоскости в отрезках: .

Каноническое уравнение плоскости:

Уравнение плоскости через две точки:

Параметрическое уравнение плоскости:

Взаимное расположение плоскостей:

Лежат в одной плоскости, если .

Параллельны, если

Пересекаются, если

Угол между плоскостями: фактически равен углу между нормалями плоскостей:

Условия перпендикулярности: плоскости перпендикуляры, если перпендикулярны их нормали, т.е. если

Расстояние от точки до плоскости в пространстве:

Прямая в пространстве:

Общее уравнение: Ax+By+Cz+D=0, координаты нормали (A,B,C).

Уравнение прямой в отрезках: .

Каноническое уравнение прямой:

Уравнение прямой через две точки:

Параметрическое уравнение прямой:

Расстояние от точки до прямой в пространстве:

Расстояние между скрещивающимися прямыми:

Угол между прямыми в плоскости фактически равен углу между направленными векторами:

Угол между прямой и плоскостью:

Линейное векторное пространство – это непустое множество L элементов, в котором:

1. Для любых x,y определена сумма, принадлежащая этому пространству.

2. Для любого x и , принадлежащим этому пространству, определено , при этом накладываются следующие условия:

1. , для любых (коммутативность сложения);

2. , для любых (ассоциативность сложения);

3. существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;

4. для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).

5. (ассоциативность умножения на скаляр);

6. (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).

7. (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Свойства линейного векторного пространства:

1. Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

2. для любого .

3. Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

4. для любого .

5. для любых и .

6. для любого .

Линейная зависимость векторов линейного пространства:

Размерность линейного пространства: линейное пространство V называется n-мерным (имеет размерность n), если в нем:

1) существует n линейно независимых векторов;

2) любая система n + 1 векторов линейно зависима.

Базис - любая упорядоченная система e₁,e₂,…,e_n из n линейно независимых векторов пространства V_n.

Подпространство линейного пространства – не пустое подмножество L₁ его элементов, само являющееся линейным пространством относительно введенных в L операций сложения векторов и умножения на число.

Для проверки того, что подмножество L₁ является подпространством множества L необходимо и достаточно убедиться, что

Пусть L – линейное пространство. Скажем, что в L задано скалярное произведение, если в каждой паре векторов x,y, принадлежащих этому линейному пространству, поставлено в соответствие скалярное произведение x,y принадлежащих R так, что выполняются условия:

Евклидовым линейным пространством называется пространство со скалярным произведением, удовлетворяющим условию: и равенства

Теорема Пифагора: если векторы x,y ортогональны, то квадрат нормы .

Доказательство: т.к. x┴y, то (x,y)=0, тогда Неравенство Коши-Буняковского: в любом евклидовом пространстве выполняется неравенство .

Доказательство: пусть . Тогда для вектора

Получим квадратных трехчлен относительно . Он должен быть ≥0, значит он не может иметь двух различных корней, => D ≤0 =>

Доказано.

Неравенство треугольника: в евклидовом пространстве для

Доказательство: по неравенству Коши-Буняковского . Извлечем корень, получим . Доказано.

Базис e₁,e₂,…,e_n евклидового пространства L называется ортонормированным, если (e_i,e_j)=0 при i≠j.

Линейная независимость системы попарно ортогональных ненулевых векторов: попарно ортогональные и отличные от нуля векторы линейно независимы.

Доказательство:

<== previous lecture	\|	next lecture ==>
Контрольная работа №2.	\|	Т Е С Т № 9

lektsiopedia.org - 2013 год. | Page generation: 0.245 s.