Есептер шешудегі талдау мен біріктіру. 1 страница

Date: 2014-02-26; view: 2464.

Математикалық есептерді шешуде талдау мен біріктіру кең түрде Математикалық есептерді шешуде талдау мен біріктіру кең түрде қолданылады. Талдау – ізделіндіден берілгенге қарай көше отырып, талқылау жолы. Біріктіру – берілгеннен бастап ізделіндіге көшу жолы. Бұл екі әдісте бір-бірімен тығыз байланыста болады.

Мәселе есептерде талдау мен біріктірудің қолданылуы

Мәселе есеп тек математикалық дәйектермен бірге басқа да сюжеттен құралады. Мәтінді есеп құрғанда талдау арқылы арифметикалық аппарат көмегімен есептің жоспарын құруға келеміз. Ал, есеп көбінесе синтетикалық әдіспен шешіледі.

Мәселе есеп деп бұл арада берілгендері тек математикалық мазмұннан тұрмай, сонымен бірге басқа да сюжеттен тұратын есептерді айтады. Мәтінді есеп құрғанда талдау арқылы арифметикалық аппарат көмегімен есепті шешу жоспарын құрамыз. Ал, есеп көбінесе синтетикалық әдіспен шешіледі.

Есеп. Үйдің үлкен бөлмесінің ені 4 м, ұзындығы ал кішкене бөлменің ұзындығы 4 м, ені Бір бөлменің ауданы екіншісінен қаншаға артық?

Талдау. Сұраққа жауап беру үшін бөлмелердің аудандарын және олардың айырмасын табу керек. Бөлмелердің аудандары оның ұзындығы мен енін көбейткенге тең.

Есептің жоспары: әрбір бөлменің ауданын тауып, үлкенінен кішісін алу керек.

Біріктіру. 1-тәсіл: 1) Үлкен бөлменің ауданы:

2) Кіші бөлменің ауданы:

3) Бірінші бөлменің ауданы екіншісінен:

артық.

2-тәсіл. Үлкен бөлме ауданы екіншісі бұлардың

айырмасы

Синтетикалық әдіс ұтымды, бұған көбейтудің үлестірімділік заңы қолданылды.

Алгебраның есептері (теңдеулер құруға берілген есептер, теңдеулер, олардың жүйелері мен жиынтықтары, теңсіздіктер, олардың жүйелері мен жиынтықтары) тек талдау не тек біріктіру қолданылып шешіледі. Теңдеулер құрғанда алдымен белгісізден берілгенге ауысады, яғни талдау қолданылады. Теңдеулер не теңдеулер жүйесі біріктіру әдісі бойынша шешіледі.

Есеп. Табанының ұзындығы а, биіктігі һ, теңбүйірлі үшбұрышты салу керек.

Талдау. Есеп шешілді, берілген а, һ_а бойынша үшбұрыш салынды деп ұйғаралық (17-сурет).

17-сурет

Һ_а – биіктігі АВС теңбүйірлі үшбұрышты тең екі тікбұрышты үшбұрышқа бөледі. Сондықтан, есепте берілген һ_а және катеттері бойынша АDB тікбұрышты үшбұрышты салуға келтіріледі.

Салу:

1) берілген һ_а және бойынша DADB-ны саламыз,

2) ВD-ның D нүктесінен DC = DB болатындай С нүктесін табамыз,

3) С-D-тың үшінші төбесі, оны А төбесімен қосамыз.

4) DABС – ізделінді фигура..

Дәлелдеу. Салынған үшбұрыш есеп шартын қанағаттандырады. Біріншіден, теңбүйірлі, АВ = АС, табаны ВС = а және биіктігі AD = h_a.

Зерттеу. Есеп ADB тікбұрышты үшбұрышты салуға (һ_а, ) келеді, бұл әрқашан мүмкін, оның бір шешімі болады.

Жоғарыда қарастырылған талдау мен біріктіру әдістемесі есептерді шешудің барынша жалпы әдісі болып табылады. Төменде қарастырылатын әдістер де жалпы әдістер болып саналады.

а) Сұрыптау әдісі.

Есеп шартын қанағаттандыратын барлық логикалық мүмкіндіктерді қарастыру және оларды таңдап алу. Егер есеп шартына сай логикалық мүмкіндіктері шектеулі болса, онда есеп шартына толық сай келетін әдісті сұрыптап алады.

б) Мәліметтер әдісі.

Есептер біртіндеп түрлендіріледі. Түрлендірулер тізбегінің соңында қажетті жауапты алуға болады. Егер теңдеуді шешу керек болса, онда берілген теңдеуге эквивалентті теңдеулер тізбегін құрамыз, соңғы теңдеу шешуге жеңіл, ізделінді жауапты береді. Теңдеулер жүйесін, теңсіздіктер жүйесін шешуде дәл осылай жасайды. Дәлелдеуге берілген есептерді шешкенде де теңбе-тең түрлендірулер тізбегін жасап, түсінікті теңбе-теңдікке келеміз.

Мысал: х² – 2ху + у² – 2х + 3 > 0.

Шешуі.

х² – 2ху + у² – 2х + 3 = х² – 2х (у + 1) + (у + 1)² – (у + 1)² + 2у² + 3 =

= (x – y – 1)² + y² – 2y + 1 + 1 = (x – y – 1)² + (y – 1)² + 1 > 0.

Мәліметтерді қабылдаудың негізіне геометриялық салу есептерін шешу жатады. Осы түрдегі әрбір есеп мынадай талаптардан тұрады: берілген фигура арқылы, оның конструктивті элементтері арқылы фигура салады, ол есеп шартын қанағаттандыруы керек. Салынуға тиісті есеп элементар салуларға келеді. Мәліметтер әдісімен мәтінді есептер арифметикалық тәсілмен шешіледі. Бұл арада да берілген есеп жай есепке келтіріледі.

в) Модельдеуге негізделген әдісі

Модельдеуге әртүрлі математикалық нысандар пайдаланылады. Сан формулалар, сан кестелері, әріпті формулалар, функциялар, алгебралық теңдеулер, дифференциалды теңдеулер мен олардың жүйелері, теңсіздіктер, теңсіздіктер жүйесі, қатарлар, геометриялық фигуралар, әр алуан графиктер, кестелер, Венн диаграммалары, т.б. Математикалық модельдеу көптеген мәтінді есептерді шешуде қолданылады. Есеп шарты бойынша құрылған теңдеу – алгебралық (аналитикалық) модель болып табылады.

Берілген геометриялық есептегі фигураның сызбасы – ондағы берілгендер мен ізделетін айнымалылар да – геометриялық модель элементтері болады. Көлемді геометриялық фигура моделі – есепте берілген заттардың кескіні, не оны қолдану моделі болады.

Мысалы, егер сыныптағы оқушыларға 2-ден конфет таратылса, онда 17 конфет артылады. Егер 3 конфеттен таратылса, онда 2 оқушыға конфет жетпейді. Сыныпта неше оқушы, неше конфет?

Бұл есепті 2 сызықтық теңдеу құру арқылы шешуге болады. Егер бұған модуль құрсақ, онда бұл есепті бастауыш сынып оқушылары шеше алады.

2 2 2 ... 2 +17

€ € € ... € €€

3 3 3 ... 3

Модель құруға есеп: 2 конфет алған оқушы 3 конфет алуы үшін 17 конфетті және 4 конфетті тарату керек. Өйткені 2 оқушыға 2 конфеттен жетпей қалған. Яғни, қосымша 21 конфет тарату керек. Демек, сыныпта 23 оқушы. А, конфет 21 · 3 = 63.

Теңдеу құрсақ:

- есептің моделі;

(оқушы);

(конфет);

Жауабы: 23 оқушы, 63 конфет.

Орта мектеп математикасында графиктік модельдеу ерекше рөл атқарады, оларға диаграммалар, функциялық графигі, теңдеудің, теңсіздіктің, графиктің геометриялық мағынасы жатады.

Белгілі физик А. В. Цингер Л. Н. Толстой жайындағы естеліктерінде шалғышылар туралы есептің ұлы жазушыға қатты ұнағаны жөнінде еске алады. Ал кейін, осы есептің арифметикалық түрде, суретті пайдаланып шешілген оңай шешімін ол, өте қартайған кезінде Я. И. Перельманнан естігенде, оған әсересе қарапайым шешуі қатты ұнайды. Бұл есеп «Лев Толстой есебі» деген атпен белгілі болған.

Есеп (Л. Н. Толстой есебі) [26]. Екі шалғышылар артелі (бригадасы, немесе тобы) біреуі екіншісінен екі есе үлкен егіс алқабын шабуы керек еді. Олар жарты күн үлкен шабындық шапты. Түстен кейін артель екіге бөлінді. Бірінші жартысы үлкен алқапта қалып, кешке дейін оны шауып бітірді. Ал артельдің екінші жартысы кіші алқапты кеш батқанша шуып, келесі күні бір шалғышы бір күнде шауып бітіретіндей алқап қалғанда жұмысын аяқтады. Артельде қанша шалғышы бар болғанын табыңыз.

Шешуі. Шалғышылар санын – х; шалғышылардың еңбек өнімділігін, яғни 1 күнде 1 шалғышы шабатын алқап ауданын – y деп белгілейік.

Есептің шарты бойынша:үлкен алқаптың жарты күнде екі артельдің бірігіп шапқан ауданы:

Үлкен алқапты түстен кейін – шалғышылардың жарты күнде шапқан ауданы: . Сонымен 1 күнде шабылып біткен үлкен алқаптың ауданы:

Кіші алқапта шалғышылардың жарты күнде шапқан аудан:

Кіші алқапта қалып кетіп, ертесі күні 1 шалғышының 1 күнде шауып бітірген алқап ауданы:

Сонымен кіші алқаптың ауданы:

Есептің шарты бойынша үлкен алқаптың ауданы кіші алқаптың ауданынан екі есе үлкен екені белгілі:

немесе осыдан y-терді қысқартсақ:

яғни: (шалғышы).

Жауабы: 8 шалғышы.

Осы есептің жоғарыда айтылған сурет бойынша шешімі (18-сурет):

18-сурет

немесе

Яғни: суреттен және бөлшектің алымынан 8 шалғышы болғанын байқаймыз.

Жауабы: 8 шалғышы.

Төртінші тарау

Математиканы оқытудың дербес мәселері

11-Лекция. Пәнді оқыту ерекшеліктері

Математика пәнін оқыту ерекшелігі математика пәнінің ерекшелігімен тығыз байланысты болады.

Метематика ғылым ретінде мынадай фәлсафалық үш функцияны орындайды:

- мәдениет саласы;

- дүниені тану әдісі;

- әлеуметтік институт (оқу орындары, ғылыми қоғамдар, академиялар, лабораториялар, журналдар, кітаптер т.б.).

Басқа ғылымдар сияқты математиканың ерекше сипатыболады:

- әмбебаптылық – білімді хабарлайды, бұл адам оны қалай алғанының шартында барлық универсум үшін ақиқат;

- фрагментарлық – тіршілікті тұтас емес, нақты дүниенің әртүрлі фрагменттерін, оның параметрлерін зерттей отырып, өзі әртүрлі ғылымдарға бөлінеді;

- жалпымәнділік;

- жеке тұлғаға тәуелді еместілік;

- жүйелілік;

- аяқталмағандық;

- ескімен байланыс;

- сын қөзбен қараушылық;

- сенімділік;

- ғылыми шындықтың адамгершілік-этикалық жағдайдан қалыстығы;

- рационалдылық;

- сезімділік.

Бұлар қос-қостан алты жұп құрайды:

- әмбебаптылық-фрагментарлық;

- жалпымәнділік – жеке тұлғаға тәуелді еместілік,

- жүйелілік-аяқталмағандық,

- ескімен байланыс-сын қөзбен қараушылық,

- сенімділік-ғылыми шындықтың адамгершілік-этикалық жағдайдан қалыстығы,

- рационалдылық-сезімділік.

Математиканы оқытудың өзіндік ерекшелігі бар. Математика ғылымдар тілі болып табылады. Қазіргі кездегі пәндердің тоғысуы жағдайында пәндердің математизациялануы математика пәнін оқытудың ерекшелігін көрсетеді.

Пәнаралық байланыстарды жүзеге асыру

Әр саладағы ғылымдардың тоғысуындағы жаңа ғылымдардың (биофизика, нанотехнология, математикалық физика т.б.) дамуын және ғылымдардың математизациялануына байланысты мектептегі математика сабағын оқытуда пәнаралық байланыстарды жүзеге асырудың пайдасы зор.

Мысалы, дифференциалдық теңдеулердің қаншалақты қуатты зерттеу аппараты екенін біз төмендегі есептерден көре аламыз. Қоршаған ортадағы қандай да бір қарапайым немесе күрделі процестерді дифференциалдық теңдеулер түрінде жазуға болады. Осындай процестердің уақыт ішіндегі удерісті өзгерісі қалай іске асатынын білу үшін құрылған дифференциалдық теңдеулерді шешу керек.

Мысалы: ауырлық күшінің көмегімен вертикаль қозғалыстың координатасы мен массасы бойынша дифференциалдық теңдеу құру және оны шешу; физика мен техника есептерінің көбін шығаруға болатын дифференциалдық теңдеулер құру; радиоактивтік ыдырау есебі; гармониялық тербелістердің дифференциалдық теңдеуін пайдалану; Гук, Ньютон заңдары бойынша дифференциалдық теңдеулер құру; атмосфералық ортада денелердің құлауы жөніндегі күрделірек есеп.

Қарапайым дифференциал теңдеулерді шешу

.

Мысалы, парашютистің парашюті ашылмаған жағдайда жылдамдық шамамен 50 м/с, ал парашют ашалған жағдайда жерге жақын жылдамдық шамамен 4-5 м/с.

Математика сабақтарында мұғалім туғызған қолайлы жағдайлар бойынша оқушылар өзінше білім алады, білік, дағдыны меңгереді. Қаншалықты жақсы әдістер болғанмен үйретуді үйренумен алмастыруға болмайды.

Әдістер мәселесі. Озат мұғалімдер мен әдіскерлер сабақты әртүрлі жолмен ұйымдастыра отырып, әдістерді бірнеше жолмен классификациялайды.

Оқыту әдісі туралы ұғым. Оқыту – мұғалімнің оқушыға білім негіздерін баяндауы ғана емес, оқушымен мұғалімнің тиімді түрдегі, күрделі қарым-қатысы. Ең алдымен оқыту – мұғалімнің басшылығымен жүргізілетін оқушы мен мұғалімнің бірлескен әрекеті.

Үйрету – мұғалімнің сабақ материалын баяндауы, оқушыларға өздері үйренетін пәнді меңгеруді ұйымдастыруы, алған білімдерін қолдана білуге баулуы, білім, білік дағдыны меңгеруі.

Үйрену – Мұғалімнің басшылығымен белгілі бір пәнді меңгеріп, оның түсіндіргенін тыңдап, үйреніп отырған айғақтың арасындағы байланыстар мен құбылыстарды, қабылданған айғақтарды жалпылау, берілген тапсырма бойынша білімін беріктеу, алған білімін саналы түрде қолдана білу.

Соңғы жылдары оқыту әдістемесі оқушылардың ақыл-ойының дамуына сәйкес болуы және оқушылардың ақыл-ойының дамуына әдістер белгілі дәрежеде септігін тигізуі керек деген талаптар қойылуда.

Оқыту әдістемесі – оқытудың мақсаты мен мазмұнына да байланысты. И. Я. Лернер мен М. И. Скаткиндердің көзқарасы бойынша, «оқыту әдісі – оқыту ісінде танылатын процесті басқару» деп түсіндіреді.

Оқыту – танымдық әрекетті ұйымдастыру.

Ғылыми таным әдісінің жалпы сипаттамасы. Математиканы үйретудің ғылыми таным әдісі – сезімдік-теориялық, мазмұндық, формальді логикалық болып бөлінеді.

Математиканы оқыту әдісі – оқушылардың өз бетінше және белсенді танымдық қызметін іске асыратын тәсіл, үйрету – белгілі математикалық білімдердің жүйесін оқушыларға баяндай білу дағдысы.

Оқыту әдісітері – әңгіме, әңгімелесу, түсіндіру, мұғалімнің дәрісі, жаттығу сипатындағы өзіндік жұмысты басқару, оқулықпен жұмыс т.б.

Оқыту формалары – сынып-сабақ, сынып-топтық, зертханалық, іс-тәжірибелік, фронтальдық т.с.с.

Қорытынды: әрбір оқыту әдісіне үйренудің белгілі бір әдісі сәйкес келуі керек.

Жалпылау, абстракциялау, нақтылау

Жалпылау және абстрактілеу – таным процесінде бірге қолданылатын әдістер. Берілген топқа, не өзара қатынасқа қатысты жалпы негізгі қасиеттердің біреуін зерделеу, бөлектеп көрсету жалпылау деп аталады.

Абстрактілеу – қарастырылып отырған заттардың арақатынастарының қосымша және жалпы сипатын бейнелейтін ойша елестету.

Мысалы, жақсы таныс геометриялық фигураның кескінін салмай-ақ, оның бетімен көлемін есептей аламыз.

Жалпылауға кері үдеріс – нақтылау, яғни жалпы жағдайдан дербес, жеке жағдайға көшу.

Жалпылау – математикалық білімді кеңейтудің ең оңай және қарапайым жолы.

Жалпылау мен абстрактілеу ұғымдарды қалыптастыруда, елестетуден ұғымға көшуде табу әдісі ретінде индукциямен бірге қолданылса, нақтылау бұрын қалыптастырған ұғым негізінде нақты жағдайды сипаттауға қолданылады.

Мысалы, өлшемдері мен түр-түсі әр түрлі фигуралар ішінен дөңгелекті табу.

Сонымен жалпылау, дерексіздеу және нақтылау орта мектепте математиканы оқытуға қолданылады. Жалпылау арқылы жасалған қорытындылардың бәрі бірдей дұрыс бола бермейді, сондықтан оны бұрын оқылған тұжырымдар арқылы тексеру керек. Мысалы, «үш таңбалы сандардың бәрі 3-ке бөлінеді» – дұрыс қорытынды емес.

Жалпылау, дерексіздеу және нақтылау оқушыны зерттеу дағдысына баулитын әдістер, ал мұғалім үшін оқыту әдісінің бірі болып табылады.

Мәселелі оқыту. Орта мектепте математиканы оқыту мақсаттарының бірі – оқушының ой-өрісін дамытып, өзіндік таным қызметін жетілдіру болып табылады.

Ақыл-ой қызметін оқыту барысында дәстүрлі әдістердің көмегімен қалай дамытуға болатынын қарастырайық.

Үздіксіз оқыту арқылы оқушының ойлау қабілеті мен танымдық қабілеттілігін қалыптастырсақ, дамыта оқыту – мәселелі оқыту болады. Ең алдымен оқушыларды үлгі бойынша жұмыс істеуге, зейін қойып тыңдауға, әрқашан үй жұмысын орындауға, кітаппен жұмыс істеуге үйретуіміз керек, әрі дидактика қағидаларын еске алып, оқыту процесін жандандыруымыз қажет.

Ойлау – бұрынғы білімді жаңаша пайдалану арқылы білімді тереңдету және кеңейту және оқушының шешім қабылдау үшін талдау жасауы мен дағдысын қалыптастыру.

Проблемалы оқытуда компьютерді, алгоритмдерді пайдалану программаланған тапсырма, ақыл-ой қызметін кезеңдеп қалыптастыру элементтері болады.

Зерттеу әдісі – мәселелі шешудің жолы.

Проблемалық жағдай іс-әрекеттің психологиялық теориясы бойынша мәселелі жағдайдан басталады.

Пайда болған ақиқат құбылысты, процесті, айғақты түсіндіре алмаудағы өзіне таныс әрекет, әдіспен мақсатқа жете алмаудағы адамның ақыл-ойындағы қиналысы мәселелік жағдай дейді.

Бұл адамды әрекеттің жаңа түрін іздеуге бастайды.

Проблеманы мұғалім тұжырымдағанда, мәселелі жағдай туады. Оқушы бұл жағдайды сезініп, мәселені қабылдап, оны талдау және шығару жолын іздеуге көшеді, яғни не берілді, не белгісіз, олардың арасында байланыс қандай, белгісіздердің сипаты қандай және оның берілгендер мен белгісізге қатысы қандай? – деген сұрақтарға жауап іздейді; «не табу керек, мақсатқа жету үшін тағы нелер керек? – деген сұрақтарға жауап іздеп, мәселенің қисындық жағына назар аударады.

Проблемалы жағдай тудыру тәсілдері: 1) оқушыларды сырттай қарағанда өзара сәйкес құбылыстарды, айғақтарды теориялық жағынан түсіндіруге баулу. Бұл оларды ізденіс қызметіне бағыттап, жаңа білімді пәрменді түрде меңгеруге жетелейді.

2) күнделікті тұрмыста, үйде, далада іс-тәжірибелік тапсырманы орындауда оқу және тәжірибе жағдайын пайдалану. Мұнда оқушы талдау арқылы мәселені шешуге ұмтылып мәселені тұжырымдайды.

3) құбылысты түсіндіру үшін және оның іс-тәжірибелік жағынан қолданылуын түсіндіру үшін мәселелі тапсырма беру.

4) тұрмыстық көрініс пен ғылыми ұғымдар арасында қайшылық тудыратын ақиқат айғақтар мен құбылысты оқушының өзі талдауға үйренуі

5) болжам жасауға және қорытындыны тұжырымдау, соңында тәжірибе жүзінде тексеру

6) нәтижесінде мәселелі жағдай пайда болатын, салыстырылатын айғақты қарама-қарсы қоюға баулу.