Однородные системы линейных уравнений

Date: 2015-10-07; view: 482.

Определение 2.4.1.

Система линейных уравнений называется однородной , если все элементы правой части системы равны нулю, т.е. если А×X=0

Очевидно , что однородная система всегда имеет тривиальное решение х₁=0 x_n=0 и следовательно , всегда совместна .

Действительно:

Этот же вывод можно сделать из теоремы Кронекера-Капелли,

т .к. не трудно догадаться , что r(A)= r(A/В)

1) если r(A)=n , то система имеет только единственное решение т.е. тривиальное решение становится единственным, и обратно, если тривиальное решение единственно, то r(A)=n.

2) Однородная система имеет нетривиальное решение (т.е. бесчисленное множество решений).

Пример 2.4.1 Решить систему:

Решение: Найдем ранг основной матрицы системы (суть способа поясним ниже)

rang=2, r<n, 3-2=1 выберем минор второго порядка не равный нулю:

Укороченная система имеет вид :

x₁ x₂ – базисные, коэффициенты при которых вошли в базисный минор

тогда x₃ и x₄ - свободные неизвестные, придадим им значения С₁иС₂ , найдем x₁ и x₂

Множество решений системы имеет вид: