Элементарные преобразования матриц

Date: 2015-10-07; view: 580.

Основы численных методов решения задач теории матриц и систем линейных алгебраических уравнений .

Определение 3.1.1.

Элементарным преобразованием матриц называется :

1)умножение строки (столбца) матрицы на число не равное нулю;

2) прибавление к строке (столбцу) матрицы другой строки(столбца), умноженной на произвольное число;

3)перестановка местами двух строк(столбцов) матрицы .

Теорема 3.1.1.

Любое элементарное преобразование, производимое над строками матрицы А, эквивалентно умножению матрицы А слева на матрицу, полученную из единичной матрицы с помощью того же самого преобразования. A_nxmЮI_nxn

Теорема 3.1.2.

Любое элементарное преобразование, производимое над столбцами матрицы А, эквивалентно умножению матрицы А справа на матрицу , полученную из единичной матрицы с помощью того же самого преобразования. A_nxmЮI_mxm

Доказательство этих теорем основано на правиле перемножения двух матриц.

Рассмотрим преобразования, указанные в теореме 3.1.1. на матрице А_3x4

1)Умножим вторую сторону на матрица элементарного преобразования есть

Действительно:

2)прибавим теперь к третей строке первую, умноженную на lЮ матрица элементарного преобразования есть

или:

Распишем для нашего случая (A_3x4) :

3)переставим первую и третью строки Ю матрицы элем.преобразования Q_ij

Аналогично можно убедиться в справедливости Теоремы 3.1.2.

Теорема 3.1.3.

Матрица любого элементарного преобразования не вырожденна

Теорема 3.1.4.

Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы .