Эллиптический параболоид.

Date: 2015-10-07; view: 571.

Параболоиды

Определение 8.4.3.1. Поверхность, имеющая уравнение (8.7.) где p > 0, q > 0 называется эллиптическим параболоидом.

1) Если p=q, то эллиптический параболоид будет поверхностью вращения, образованный вращением параболы вокруг оси z.

2) В общем случае эллиптический параболоид не является поверхностью вращения: сечения его плоскостями перпендикулярными оси z, уже не окружности ,а эллипсы.

Доказано, сечения эллиптического параболоида плоскостями, параллельными плоскости ху, задаются системой уравнений . Так как p и q>0, то при любых значениях x и y.

1) Если h < 0, то эта система не имеет решений, т.к. . Поэтому «под плоскостью» ху нет точек эллиптического параболоида.

2) При h = 0 система имеет единственное решение (0; 0; 0), т.е. эллиптический параболоид имеет с плоскостью ху единственную общуюточку - начало координат.

3) При h > 0 система определяет эллипс , с полуосями

. При возрастании h полуоси эллипса возрастают (неограниченно).

Сечение эллиптического параболоида координатными плоскостями xz и yz представляют собой параболы, которые задаются соответственно системами уравнений: и

Если в уравнении (8.7.) p=q , то в сечениях горизонтальными плоскостями образуются окружности.

Замечание. Уравнения и также определяют эллиптический параболоид.

Рис.8.12.