Понятние линейного пространства.

Date: 2015-10-07; view: 344.

1. Определение линейного пространства.Множество R элементов х, у, z,... любой природы называется линейным (или аффинным) пространством, если выполнены следующие три требования.
I. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам х и у множества R ставится в соответствие третий элемент z этого множества, называемый суммой элементов х и у и обозначаемый символом z = х + у.
П. Имеется правило, посредством которого любому элементу х множества R и любому вещественному числу λ ставится в соответствие элемент u этого множества, называемый произведением элемента х на число λ и обозначаемый символом u = λх или

u = хλ.
III. Указанные два правила подчинены следующим восьми аксиомам:
1° х + у = у + х (переместительное свойство суммы);
2° (х + у) + z = х + (у + z) (сочетательное свойство суммы);
3° существует нулевой элемент 0 такой, что х + 0 = х для любого элемента х (особая роль нулевого элемента);
4° для каждого элемента х существует противоположный элемент х' такой, что х + х' = 0;
5° 1 • х = х для любого элемента х (особая роль числового множителя 1);
6° λ(µх) = (λµ)x (сочетательное относительно числового множителя свойство);

7° (λ + µ)x = λх + µх (распределительное относительно суммы числовых множителей свойство);
8° λ(х + у) = λх + λу (распределительное относительно суммы элементов свойство).
Подчеркнем, что при введении понятия линейного пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов и произведения элемента на число (важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли восьми аксиомам, сформулированным в данном выше определении).
Если же природа изучаемых объектов и вид правил образования суммы элементов и произведения элемента на число указаны (разумеется, эти правила должны быть указаны так, чтобы были справедливы свойства 1°-8°, перечисленные в данном выше определении в виде аксиом), то мы будем называть линейное пространство конкретным.
Приведем примеры конкретных линейных пространств.
Пример 1. Рассмотрим множество всех свободных векторов в трехмерном пространстве. Операции сложения указанных векторов и умножения этих векторов на числа определим так, как это было сделано в аналитической геометрии (сложение векторов определим по правилу «параллелограмма»; при умножении вектора на вещественное число λ длина этого вектора умножается на |λ|, а направление при λ > 0 остается неизменным, а при λ < 0 — изменяется на противоположное).
Элементарно проверяется справедливость всех аксиом 1°-8° (справедливость всех аксиом, за исключением аксиомы 5°, установлена
в курсе аналитической геометрии, справедливость аксиомы 5° не вызывает сомнений).
Таким образом, множество всех свободных векторов в пространстве с так определенными операциями сложения векторов и умножения их на числа представляет собой линейное пространство, которое мы будем обозначать символом В₃.
Аналогичные множества векторов на плоскости и на прямой, также являющиеся линейными пространствами, мы будем обозначать соответственно символами B₂ и В₁.