Определения

Date: 2015-10-07; view: 381.

Линейное пространство называется евклидовым, если в этом пространстве определена операция, ставящая в соответствие паре векторов и вещественное число, называемое скалярным произведением векторов и , и обозначаемое ; при этом операция подчиняется аксиомам:

1. для ;
2. для ;
3. для ;
4. для , .

Из аксиом 1 и 2 вытекает свойство линейности скалярного произведения и по второму вектору:

2'. для .

П

Пример 1. Пространство .

здесь векторы рассматриваются как столбцы, а означает транспонирование. Будем называть это скалярное произведение стандартным. Легко проверить выполнимость аксиом 1 - 4 .

Однако стандартное определение скалярного произведения вовсе не является единственно допустимым; формально скалярное произведение можно ввести и другим способом. Рассмотрим (пока произвольную) вещественную квадратную матрицу порядка и положим

(Здесь векторы и из снова рассматриваются как столбцы.) Если матрица является положительно определенной, то все аксиомы скалярного произведения будут удовлетворены.

Зачем нужна такая возможность в неоднозначности определения скалярного произведения в одном и том же пространстве? — Ответ на этот вопрос откладывается до следующего пункта. А пока приведу одно замечание¹⁾.

§

Введенное — по любому из допустимых алгоритмов — скалярное произведение в является функцией от аргументов — координат векторов и :

Что это за функция? — Очевидно, это — полином, причем однородный второй степени. Однако по каждой переменной из набора он являетсялинейным. Именно, аксиомы 2 и 3 можно объединить в одно свойство линейности:

Аналогичное утверждение справедливо и относительно координат вектора . Наличие подобных свойств позволяет выделить во множестве произвольных однородных полиномов второй степени (квадратичных форм) от переменных подмножество билинейных форм. Это определение допускает обобщение на произвольное количество наборов переменных из : полилинейная форма. В частности, полилинейной формой является определитель матрицы порядка как функция от элементов этой матрицы, объединенных в наборы строк или столбцов