Линейная алгебра

Date: 2015-10-07; view: 416.

Матрицы. Определители

Матрицей размерности m´n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, составленная из чисел или иных математических выражений. Элементы матрицы обозначаются , где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой и обозначается О.

Если , то матрица называется квадратной порядка .

Квадратная матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали ( ), равны 0, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен 1, называется единичной и обозначается .

Всякой квадратной матрице порядка можно поставить в соответствие её определитель (детерминант).

Определителемквадратной матрицы А= n-го порядка называется выражение (число), полученное по определенному правилу.

Определитель 1-го порядка (n=1) равен самому элементу: .

Определитель 2-го порядка (n=2): .

Определитель 3-го порядка (n=3): .

и т.д. Определители обозначаются символом или .

Если , то матрица называется вырожденной (невырожденной).

Две матрицы A и B одинаковой размерности называются равными, если равны элементы, стоящие на одинаковых местах, т.е. .

Свойства определителей

1. Определитель не изменится, если в нем каждую строку заменить столбцом с соответствующим номером (транспонирование определителя). Следовательно, строки и столбцы в определителе равноправны, т.е. любое свойство (теорема), относящееся к строкам определителя, справедливо и для его столбцов.

2. Если в определителе все элементы какой-либо строки равны 0, то определитель равен 0.

3. Если в определителе 2 строки поменять местами, то определитель изменит знак на противоположный.

4. Если определитель содержит 2 одинаковые строки, то он равен 0. Действительно, при перестановке одинаковых строк, с одной стороны, определитель не изменится, с другой стороны, изменит знак на противоположный. Т.о., , 2 ,

5. Общий множитель элементов какой-либо строки определителя можно выносить за знак определителя.

6. Если элементы какой-либо строки определителя представляют сумму 2-х слагаемых, то определитель равен сумме 2-х соответствующих определителей.

7. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки определителя прибавить элементы другой строки, умноженные на некоторое число.

Миноры и алгебраические дополнения

Минором элемента определителя n-го порядка называется такой определитель (n-1)-го порядка, который получается из определителя n-го порядка вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком , т.е. .

Теорема Лапласа (о разложении определителя).

Определитель n-го порядка равен сумме произведений всех элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения: (разложение определителя по элементам i-ой строки).

Пример. Вычислить определитель матрицы А = .

Для по теореме Лапласа:

= -5 + 18 + 6 = 19.

Аналогичное разложение можно записать для элементов -го столбца.

На теореме основан метод вычисления определителей понижением их порядка. Если в определителе n-го порядка все элементы i-ой строки, за исключением одного, равны 0, то такой определитель равен этому отличному от 0 элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Для вычисления определителей n-го порядка также используется метод приведения к треугольному виду, когда все элементы, расположенные выше (ниже) одной из его диагоналей равны 0.

Для преобразования определителя к соответствующему виду используются свойства определителя.

Операции над матрицами

Суммой матриц A и B одинаковой размерности называется матрица C= A + B той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. .

Сложение матриц коммутативно, т.е. .

Произведением матрицы A на число называется матрица B= A той же размерности, получающаяся из матрицы умножением каждого элемента на , т.е. .

Произведением матриц A и B называется матрица C= AB , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j - го столбца матрицы B. Умножение матрицы на матрицу возможно только при условии, что число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, т.е. n=p. Тогда матрица С имеет размерность и .

Заметим, что для любых квадратных матриц det (AB) = detAdetB.

Произведение матриц не коммутативно, т.е. . В частном случае может оказаться, что . Такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера: АЕ = ЕА = А. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

Операция умножения матриц ассоциативна, т.е. (АВ)С=А(ВС).

Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. А(В + С) =АВ + АС.

Матрица, полученная из данной матрицы A заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной, и обозначается . Если определено произведение АВ, то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство .

Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число a = 2. Найти А^ТВ+aС.

A^T = ; A^TB = × = = ;

aC = ; А^ТВ+aС = + = .

Обратная матрица

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию: XA = AX = E, где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратнойк матрице А и обозначается .

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю, имеет обратную матрицу и притом только одну. Чтобы найти обратную матрицу , надо составить матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы A , транспонировать ее и умножить на число .

Ранг матрицы и его вычисление

Выберем в матрице A размера произвольно k строк и k столбцов (k . Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором k-го порядка матрицы A. Заметим, что таких миноров можно составить – число сочетаний из n элементов по k.

Если у матрицы все миноры порядка k r равны 0, а среди миноров порядка r имеется хотя бы один, отличный от 0, то число r называется рангом матрицы A и обозначается .

Итак, рангом матрицы называется наибольший порядок, отличных от 0 миноров матрицы.

Ранг нулевой матрицы равен 0.

Однако, обычно для определения ранга матрицы используется метод элементарных преобразований.

Элементарные преобразования матрицы:

1. Перестановка местами строк.

2. Умножение всех элементов строки на некоторое число, отличное от 0.

3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на некоторое число.

Аналогичные преобразования можно выполнять над столбцами матрицы.

Т.о, при транспонировании матрицы её ранг не меняется.

С помощью элементарных преобразований, которые не меняют ранга, матрица приводится к ступенчатому виду, когда первый, отличный от 0, элемент каждой её строки, начиная со 2-ой, находится правее 1-го, отличного от 0, элемента предыдущей строки.

Матрица, полученная с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной данной.