Теорема

Date: 2015-10-07; view: 423.

Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк, причём 0 .

Пример.Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований.

~ ~ ~

Заметим, что матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к виду, когда все её элементы, кроме элементов , равны 0. Тогда ранг матрицы будет равен r.

Системы линейных уравнений (СЛУ)

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид

,

где – неизвестные, – коэффициенты при неизвестных, а – свободные члены.

Решить СЛУ, значит найти множество её решений. Оно может быть пустым, конечным или бесконечным.

Решением СЛУ называется упорядоченная совокупность из чисел, компоненты которой удовлетворяют каждому уравнению системы.

СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет более 1 решения.

В случае неопределённой системы, каждое её решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решение СЛУ

Формулы Крамера (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик).

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными.

Составим матрицы: A = ; B = ; X = .

Если определитель системы , составленный из коэффициентов при неизвестных отличен от 0, то система имеет единственное решение.

Систему уравнений можно записать:

AX = B.

Сделаем следующее преобразование: A^-1AX = A^-1B.

Т.к. А^-1А = Е, то ЕХ = А^-1В ,

Х = А^-1В–решение с помощью обратной матрицыили

– формулы Крамера,

где – определители, полученные из определителя заменой в нём i-го столбца столбцом из свободных членов .