Пример.

Date: 2015-10-07; view: 416.

A = ; D₁= ; D₂= ; D₃= .

x₁ = D₁/detA; x₂ = D₂/detA; x₃ = D₃/detA.

Метод Гаусса (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик).

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными.

Составим матрицы:

А = называется матрицей системы и матрица

А^*= называется расширенной матрицей системы.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений).

Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований строк приводится к ступенчатому виду. При этом возможны случаи:

1) r(A)= r( )=r =n, что соответствует системе, которая имеет единственное решение.

Неизвестные при этом находятся последовательно, начиная с последнего уравнения.

2) r(A)= r( )= r n, что соответствует системе, которая имеет бесконечно много решений.

В этом случае выбираются главные неизвестные (их количество определяется рангом) и свободные (их количество n-r). Затем главные неизвестные выражаются через свободные, начиная с последнего уравнения. Свободные неизвестные могут принимать любые значения, что даёт общее решение системы.

Пример.Решить систему методом Гаусса.

.

Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.

Если b₁, b₂, …,b_m = 0, то система называется однородной. Однородная система всегда совместна.