Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Date: 2015-10-07; view: 415.

1)Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции в точке называется предел, если он существует,

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку . Угол между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

где обозначает тангенс, а — коэффициент наклона касательной. Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Пусть — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени

Вообще производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью

2) Найти производную от функции, заданной неявно

1) На первом этапе навешиваем штрихи на обе части:

2) Используем правила линейности производной):

3) Непосредственное дифференцирование.

. В параметрической форме функция задается двумя уравнениями: .Переменная называется параметром и может принимать значения от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности».

Пусть функция строго монотонная (возрастающая или убывающая) и непрерывная на области определения , область значений этой функции , тогда на интервале определена непрерывная строго монотонная функция с областью значений , которая является обратной для .

Другими словами, об обратной функции для функции на конкретном промежутке имеет смысл говорить, если на этом интервале либо возрастает, либо убывает.

Функции f и g называют взаимно обратными.

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.

3)Функция =f(x) дифференцируема в т. , если ее приращение можно представить в виде ∆y=A*∆x+α(∆x)*∆x,(1) где α(∆х)-б.м.ф. ∆→0.Т1: Для того чтобы функция была дифференцируема в т. необходимо и достаточно, что бы в этой точке существовала производная этой функции. Т2: Если функция дифференцируема в , то она непрерывна в этой точке. обратное не верно.

Дифференциалом функции наз-ся главная, линейная относительно ∆х часть приращения функции в формуле (1),т.е. приращение аргумента dx=∆x. y(x)≈y( )+y'( )(x- -формула использования дифференциалом для приближенных значений.

4). Теорема Ферма

Пусть функция определена и непрерывна на интер-е (а,в),и в точке принимает наибольшее или наимменьшее значение, принадлежит (а,в), тогда f'(x)=0.

Геометрическое истолкование теоремы вытекает из геометрического смысла производной: касательная к графику функции в точке с абсциссой параллельна оси . f'( )=k* =0.