Теорема Лагранжа

Date: 2015-10-07; view: 527.

Теорема Ролля

Пусть функция непрерывна на отрезке (а,в) и дифференциируема в интервале (а,в), кроме того f(в)=f(а), тогда существует С принадлежащая (а,в) и f'(C)=0

Данная теорема обладает таким же геометрическим истолкованием, что и теорема Ферма.

Пусть функция непрерывна на отрезке (а,в) и дифференциируема в интервале (а,в), тогда существует С принадлежащая (а,в): f'(C)= .

Замечание: Часто эту теорему называют формулой конечных приращений и используют в виде: f(B)-f(a)=f'(c)*(B-a).

Геометрическое истолкование теоремы Лагранжа

5) Пусть в интервале (a, b) задана функция f(x) и в каждой точке x  (a, b) существует производная f '(x). Таким образом в интервале (a, b) задана функция y = f '(x) .

Если первая производная функция y = f '(x) дифференцируема в интервале (a, b), то ее производная называется второй производной функции f(x).

Вторая производная обозначается символами f ''(x) или .

Производной n–го порядка функции f(x), называется производная от производной функции f(x) (n − 1)–го порядка.

Замечание. Если речь идет о производной n–го порядка ( n = 2, 3, … ) в фиксированной точке x₀, то для существования f⁽ⁿ⁾ (x₀) необходимо существование f^{(n − 1)} (x) не только в точке x₀, но и в некоторой ее окрестности. f''( )= * ( )

Функция, имеющая в точке производную n–го порядка, называется n раз дифференцируемой в этой точке.

Функция, имеющая в точке производные всех порядков, называется бесконечно дифференцируемой в этой точке.

Формулы для производных n–го порядка суммы и произведения функций :

производная n–го порядка произведения определяется формулой Лейбница

Если функции u(x) и v(x) n раз дифференцируемы на некотором промежутке, то производная n–го порядка суммы определяется формулой

Дифференциал от первого дифференциала, при условии, что повторное приращение независимой переменной x совпадает с первоначальным, называется вторым дифференциалом функции f(x) в точке x и обозначается d² f(x). формулу для вычисления второго дифференциала

Дифференциалом n–го порядка называется дифференциал от дифференциала (n − 1)–го порядка

Формула для вычисления дифференциала n–го порядка

dⁿ f(x) = f⁽ⁿ⁾ (x) dxⁿ .

6)Точка наз-ся точкой локального экстремума, если функ-я дифференциируема в некоторой окрестности этой точки и она принимает в этой точке наибольшее или наименьшее значение для любого х из этой окрестности.

Теорема 2 (необходимое условие экстремума). Если функция дифференцируема в точке x₀ и некоторой ее окрестности и x₀ – точка экстремума, то . Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными или точками возможного экстремума. Точки, в которых производная равна нулю или не существует (но сама функция в этих точках определена) называются критическими.

Теорема 3 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция определена и непрерывна в точке x₀ и некоторой ее окрестности . Дифференцируема в этой окрестности, за исключением, быть может самой точки x₀, и точка x₀ – критическая точка для функции (т. е. или не существует). Тогда:

1) если для любой точки х из левой полуокрестности точки х₀ производная положительна ( : ), а для любого х из её правой полуокрестности производная отрицательна ( : ), то x₀ – точка максимума;

2) если для производная , а для , то x₀ – точка минимума

наибольшего значения.

Сформулируем алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x), непрерывной на отрезке:

1. Найти критические точки x₁, x₂, ..., x_n функции .

2. Отобрать все критические точки, принадлежащие отрезку .

3. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка.

4. Из полученных значений выбрать самое большое и самое малое. Эти числа и будут наибольшим и наименьшим значениями на отрезке .

Кривая, заданная функцией , называется выпуклойвверх на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Кривая называется выпуклой вниз на интервале , если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Точкой перегиба называется точка на кривой, где меняется направление её выпуклости.

Теорема 4 (достаточные условия выпуклости графика функции).

Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна, т. е. , то кривая на этом интервале выпукла вверх; если во всех точках интервала - , то кривая на этом интервале выпукла вниз.

Теорема 4 (достаточные условия выпуклости графика функции).

Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна, т. е. , то кривая на этом интервале выпукла вверх; если во всех точках интервала - , то кривая на этом интервале выпукла вниз.

Теорема(необходимое условие)

Пусть функция имеет 2-ю производную в т. и т. -тоска перегиба,то f''( )=0.

Пусть 2-е функции определены и дифференциитуемы в некотрой окрестности т. и или ; тогда существует , тогда существует .

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

	(1)

8)ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x₀  (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x₀ приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значенийf(x) в окрестности точки x₀ можно заменить более легкой задачей вычисления значений P(x).

Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена.

Если в этой формуле положить x₀ = 0, то она запишется в виде

где x  ( x₀, x). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой МакЛорена.

Теорема:Пусть функцию можно представить в виде 2-о ряда на некотором интервале (-R;R), тогда для того чтобы 2-й ряд сходился на (-R;R) необходимо и достаточно чтобы остаточный член ряда стремился к 0, при n стремящемся к ∞,

Теорема(о почленном дифференциировании ряда): Если функция разлогается в ряд (-R;R),то она дифференциируема на этом интервале.

Теорема:Если функция разлогается в ряд на (-R;R),то она интегрированна на этом интервале, при чем сумма нового ряда= интегралу этой функции.

Теорема:Если функция раскладывается в ряд 2, то такое разложение единственно.

Теорема Лейбница:Остаточный член знакопеременного ряда не превышает первого отброшенного члена ряда.