Численные методы

Date: 2015-10-07; view: 504.

1) Абсолютной погрешностью или, короче, погрешностью приближённого числа называется разность между этим числом и его точным значением (при этом из большего числа вычитается меньшее).

Относительной погрешностью приближённого числа называется отношение абсолютной погрешности приближённого числа к самому этому числу.

То есть, если известно точное значение числа, то относительной погрешностью приближённого числа называется отношение абсолютной погрешности приближённого числа к точному числу. Но в большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближённого числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью. Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью.

Предельная абсолютная погрешность суммы не превышает суммы предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.

Предельная абсолютная погрешность разности не превышает суммы предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Предельная относительная погрешность суммы (но не разности!) лежит между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых. Если все слагаемые имеют одну и ту же (или примерно одну и ту же) предельную относительную погрешность, то и сумма имеет ту же (или примерно ту же) предельную относительную погрешность. Иными словами, в этом случае точность суммы (в процентном выражении) не уступает точности слагаемых. При значительном же числе слагаемых сумма, как правило, гораздо точнее слагаемых.

Предельная относительная погрешность произведения приближённо равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей. Обозначим предельную относительную погрешность произведения буквой , а предельную относительную погрешность сомножителей – буквами и (в примере 1 ).

Правило для двух сомножителей запишется так: .

Точное же выражение будет: ,

т. е. предельная относительная погрешность произведения всегда больше, чем сумма предельных относительных погрешностей сомножителей; она превышает эту сумму на произведение относительных погрешностей сомножителей. Это превышение обычно невелико, что его не приходится учитывать

2)

. Если алгебраическое или трансцендентное уравнение приведено к виду , где всюду на отрезке , на котором исходное уравнение имеет единственный корень, то исходя из некоторого начального явления , принадлежащего к отрезку , можно построить такую последовательность:

.

Пределом этой последовательности является единственный корень уравнения на отрезке . В результате можно получить значение корня с любой степенью точности, при этом, если выполняется условие (которое является достаточным) на отрезке . Если же это условие не выполняется, то уравнение всегда можно представить в виде

и константу подобрать так, чтобы для функции

условие имело место. Тогда получим

Погрешность приближённого значения корня , найденного методом итераций, оценивается неравенством

.

Для нахождения приближённого значения корня с погрешностью, не превышающей , достаточно определить так, чтобы выполнялось неравенство

.

Пример 5. Применив пять раз метод итераций, найти приближённый корень уравнения , изолированный в промежутке , с точностью до трёх значащих цифр.

Решение. Запишем данное уравнение в виде ; следователь­но, . В промежутке имеем

.

Примем и т. д.

Выполним вычисления:

Оценку погрешности вычислим по формуле

.

Имеем

,

т.е.

,

или

.

Следовательно, с точностью до трёх значащих цифр приближённое значение корня равно 0,450.

3)Полином Лагранжа

Решение ищем в виде , где l_i(z) – базисные полиномы N–й степени, для которых выполняется условие: . Убедимся в том, что если такие полиномы построены, то L_N(x) будет удовлетворять условиям интерполяции:

.

Каким образом построить базисные полиномы? Определим

, i=0, 1,..., N.

Легко понять, что

, и т.д.

Функция l_i(z) является полиномом N–й степени от z и для нее выполняются условия "базисности":

=0, i≠k;, т.е. k=1,…,i-1 или k=i+1,…,N.

.

Таким образом, нам удалось решить задачу о построении интерполирующего полинома N– й степени, и для этого не нужно решать СЛАУ. Полином Лагранжа можно записать в виде компактной формулы: . Погрешность этой формулы можно оценить, если исходная функция g(x) имеет производные до N+1 порядка:

.

Из этой формулы следует, что погрешность метода зависит от свойств функции g(x), а также от расположения узлов интерполяции и точки z. Как показывают расчетные эксперименты,полином Лагранжа имеет малую погрешность при небольших значениях N<20. При бόльших N погрешность начинает расти, что свидетельствует о том, что метод Лагранжа не сходится (т.е. его погрешность не убывает с ростом N).

4) .Метод половинного деления известен также как метод бисекции. В данном методе интервал делится ровно пополам.

Такой подход обеспечивает гарантированную сходимость метода независимо от сложности функции - и это весьма важное свойство. Недостатком метода является то же самое - метод никогда не сойдется быстрее, т.е. сходимость метода всегда равна сходимости в наихудшем случае.

Метод половинного деления:

1. Один из простых способов поиска корней функции одного аргумента.

2. Применяется для нахождения значений действительно-значной функции, определяемому по какому-либо критерию (это может быть сравнение на минимум, максимумили конкретное число).