Сопряженные, эрмитовы и унитарные матрицы

Date: 2015-10-07; view: 501.

Матрица , полученная из исходной матрицы A заменой ее элементов комплексно–сопряженными элементами , называется комплексно–сопряженной.

Очевидно, что

,

,

.

Транспонированние и комплексное сопряжение матрицы A приводит к эрмитово–сопряженной матрице .

Если , то матрица A называется эрмитовой.

Если , то матрица A называется унитарной.

Операция эрмитового сопряжения произведения матриц обладает следующим свойством:

Предположим, что размерности матриц таковы, что операции умножения соответствующих матриц определены.
Тогда

Доказательство.
Свойство представляется вполне очевидным. Действительно, операция эрмитового сопряжения матрицы сводится к транспонированию комплексно сопряженной матрицы:

Однако и, следовательно,

.

Пример 1. Показать, что матрица является унитарной. Решение Эрмитово сопряженная матрица имеет вид: Очевидно, что Следовательно,

***

Пример 2. Найти , если Решение