Матрица перестановок

Date: 2015-10-07; view: 458.

Если в единичной матрице изменить порядок расположения строк, то полученная матрица называется матрицей перестановок. Иначе говоря, квадратная матрица, в каждой строке и в каждом столбце которой только один элемент отличен от нуля и равен единице, называется матрицей перестановок.

Непосредственным вычислением легко проверяются следующие свойства матрицы перестановок.

1. Умножение слева матрицы перестановок на прямоугольную матрицу A приводит к перестановке строк матрицы A.
2. Умножение справа матрицы перестановок на прямоугольную матрицу A приводит к перестановке столбцов матрицы A.

Пусть, например, пятой строкой матрицы перестановок является строка вида (0, 1, 0, 0, ..., 0). Тогда результатом умножения этой строки на столбцы прямоугольной матрицы A = || a_{i j} || является вторая строка (a₂₁ a₂₂ a₂₃ ...) матрицы A, которая располагается в позиции пятой строки результитрующей матрицы.

Таким образом, если в i-ой строке матрицы перестановок P единица расположена в j-ом столбце, то умножение матрицы P слева на матрицу A приводит к перемещению j-ой строки матрицы A в позицию i-ой строки.

Аналогично, если в i-ом столбце матрицы перестановок P единица расположена в j-ой строке, то умножение матрицы P справа на матрицу A приводит к перемещению j-го столбца матрицы A в позицию i-го столбца.

Если матрицы перестановок P получена из единичной матрицы E перестановкой местами двуз строк (или двух столбцов), то такая матрица называется элементарной матрицей перестановок.
При умножение слева элементарной матрицы перестановок на матрицу A происходит перестановка соответствующих строк матрицы A.
Умножение справа элементарной матрицы перестановок на матрицу A приводит к перестановке соответствующих столбцов матрицы A.

Для любой матрицы перестановок P справедливы следующие свойства:

где - транспонированная матрица перестановок; E - единичная матрица.

Действительно,

где - дельта-символ Кронекера.

Терема 1. Произведение матриц перестановок одного и того же порядка есть матрица перестановок.

Терема 2. Матрица перестановок n-го порядка может быть представлена в виде произведения (n - 1) элементарных матриц перестановок.

Терема 3. Квадрат элементарной матрицы перестановок есть единичная матрица.

Доказательство этих утверждений предоставляется читателю.

Примеры матриц перестановок.

Элементарные матрицы перестановок:

Матрицы перестановок: