Вычисление определителей методом элементарных преобразований

Date: 2015-10-07; view: 365.

Теорема Лапласа

Пусть A – квадратная матрица n-го порядка.
Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы A, расположенных на пересечении строк с номерами i₁ , i₂ , ..., i_k и столбцов с номерами j₁ , j₂ , ..., j_k , называется минором M k-го порядка матрицы A.

Если из матрицы A вычеркнуть строки и столбцы с такими номерами, то определитель n–k-го порядка полученной матрицы называется дополнительным минором для минора M.

Обозначим символом S сумму индексов, нумерующих строки и столбцы такого минора:

S = i₁ + j₁ + i₂ + j₂ + ... + i_k + j_k .

Алгебраическим дополнением минора M называется дополнительный минор для минора M, умноженный на (–1)^S.

Отметим, что алгебраическое дополнение A_{i j} элемента a_{i j} (минора первого порядка) является частным случаем алгебраического дополнения минора.

Теорема Лапласа. Пусть D – определитель n-го порядка, в котором произвольно выбраны k строк (или столбцов), где 1 ≤k ≤ n – 1.
Тогда определитель D равен сумме произведений всех миноров k-го порядка, расположенных в выбранных строках (или столбцах), на их алгебраические дополнения.

Под элементарными преобразованиями определителей понимаются следующие операции.

Целью таких преобразований является приведение определителя к треугольному виду, что решает проблему его вычисления.

Можно поступать и несколько иначе: с помощью элементарных преобразований получить строку (или столбец), содержащую только один ненулевой элемент, и затем разложить полученный определитель по элементам этой строки (столбца).
Подобная процедура понижает порядок определителя на одну единицу.

Примеры:

1. Вычислить определитель матрицы приведением к треугольному виду. Решение. Определитель матрицы треугольного вида равен произведению ее диагональных элементов. Следовательно,

***

2. Вычислить определитель матрицы Решение. Сначала преобразуем первую строку с помощью элементарных операций над столбцами, стремясь получить в ней максимально возможное число нулей. С этой целью вычтем из второго столбца пятый столбец, предварительно умноженный на 5, а к третьему столбцу прибавим удвоенный второй столбец: Затем произведем разложение определителя по элементам первой строки: Преобразуем строки, прибавляя к первой строке третью и вычитая из второй строки утроенную третью: Произведем разложение определителя по элементам третьего столбца: