Теорема об обратной матрице

Date: 2015-10-07; view: 514.

Теорема. Сингулярная матрица не имеет обратной матрицы. Для любой несингулярной матрицы A существует единственная обратная матрица:

Доказательство.

1. Предположим, что для матрицы A существует обратная матрица A^-1. Тогда AA^-1=E.

Учитывая, что определитель произведения матриц равен произведению определителей, получаем det A det A ^-1=1 и, следовательно, det A¹0.

Это означает, что сингулярные матрицы не имеют обратных матриц.

1. Предположим теперь, что существуют две обратные матрицы, A ^-1и B ^-1.

Тогда AA^-1=A^-1A=E и AB^-1=B^-1A=E.

Используем эти равенства для преобразования матрицы B ^-1:

B ^-1= B^-1E ^-1= B^-1AA^-1= (B^-1A)A^-1= EA^-1 = A

что доказывает утверждение об единственности обратной матрицы.

1. В соответствии с Леммой 2

Следовательно,

Примеры:

1. Найти обратную матрицу для матрицы . Решение. Вычислим определитель матрицы: Поскольку , то обратная матрица существует. Далее найдем алгебраические дополнения всех элементов: , . Составим присоединенную матрицу : Таким образом, Проверка

***

2. Найти обратную матрицу для матрицы Решение. Вычисляем определитель: Матрица A является сингулярной и, следовательно, обратная матрица не существует.

***

3. Найти обратную матрицу для матрицы Решение. 1) Для вычисления определителя прибавим ко второй строке удвоенную первую; затем разложим определитель по элементам второго столбца: 2) Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы: Составим присоединенную матрицу : Делением присоединенной матрицы на det A получаем обратную матрицу: Проверка: Аналогично,

***

3. Даны матрицы и . Решить матричное уравнение (*) Решение. Поскольку , то матрица A является неособенной и существует обратная матрица . Умножим обе части уравнения (*) на матрицу справа: Составим присоединенную матрицу : Следовательно, Тогда Проверка: