Линейная алгебра

Date: 2015-10-07; view: 447.

Курс

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1. Основные действия над матрицами.

2. Транспонированная матрица.

3. Определители.

4. Дополнительный минор.

5. Элементарные преобразования.

6. Миноры.

7. Алгебраические дополнения.

8. Обратная матрица.

9. Базисный минор матрицы.

10. Ранг матрицы.

11. Эквивалентные матрицы.

12. Теорема о базисном миноре.

13. Матричный метод решения систем уравнений.

14. Метод Крамера.

15. Решение произвольных систем уравнений.

16. Совместные системы.

17. Определенные системы.

18. Однородная система.

19. Элементарные преобразования систем уравнений.

20. Теорема Кронекера - Капелли.

21. Метод Гаусса.

22. Коллинеарные векторы.

23. Компланарные векторы.

24. Линейные операции над векторами.

25. Свойства векторов.

26. Базис.

27. Линейная зависимость векторов.

28. Система координат.

29. Ортонормированный базис.

30. Линейные операции над векторами в координатах.

31. Скалярное произведение векторов.

32. Векторное произведение векторов.

33. Смешанное произведение векторов.

34. Уравнение поверхности в пространстве.

35. Общее уравнение плоскости.

36. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.

37. Уравнение плоскости по 2 точкам и вектору, коллинеарному плоскости.

38. Уравнение плоскости по точке и 2 векторам, коллинеарным плоскости.

39. Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.

40. Уравнение плоскости в отрезках.

41. Уравнение плоскости в векторной форме.

42. Расстояние от точки до плоскости.

43. Уравнение линии на плоскости.

44. Уравнение прямой на плоскости.

45. Общее уравнение прямой.

46. Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

47. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

48. Уравнение прямой по точке и угловому коэфициенту.

49. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

50. Уравнение прямой в отрезках.

51. Нормальное уравнение прямой.

52. Угол между прямыми на плоскости.

53. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.

54. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

55. Кривые второго порядка.

56. Окружность.

57. Эллипс.

58. Фокусы.

59. Эксцентриситет.

60. Директрисы.

61. Гипербола.

62. Эксцентриситет гиперболы.

63. Директрисы гиперболы.

64. Парабола.

65. Полярная система координат.

66. Уравнение линии в пространстве.

67. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

68. Параметрическое уравнение прямой.

69. Направляющие косинусы.

70. Угловой коэффициент.

71. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

72. Общие уравнения прямой.

73. Угол между плоскостями.

74. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

75. Угол между прямыми.

76. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

77. Угол между прямой и плоскостью.

78. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Матрицы. Определители

Матрицей размерности m´n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, составленная из чисел или иных математических выражений. Элементы матрицы обозначаются , где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой и обозначается О.

Если , то матрица называется квадратной порядка .

Квадратная матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали ( ), равны 0, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен 1, называется единичной и обозначается .

Всякой квадратной матрице порядка можно поставить в соответствие её определитель (детерминант).

Определителемквадратной матрицы А= n-го порядка называется выражение (число), полученное по определенному правилу.

Определитель 1-го порядка (n=1) равен самому элементу: .

Определитель 2-го порядка (n=2): .

Определитель 3-го порядка (n=3): .

и т.д. Определители обозначаются символом или .

Если , то матрица называется вырожденной (невырожденной).

Две матрицы A и B одинаковой размерности называются равными, если равны элементы, стоящие на одинаковых местах, т.е. .

Свойства определителей

1. Определитель не изменится, если в нем каждую строку заменить столбцом с соответствующим номером (транспонирование определителя). Следовательно, строки и столбцы в определителе равноправны, т.е. любое свойство (теорема), относящееся к строкам определителя, справедливо и для его столбцов.

2. Если в определителе все элементы какой-либо строки равны 0, то определитель равен 0.

3. Если в определителе 2 строки поменять местами, то определитель изменит знак на противоположный.

4. Если определитель содержит 2 одинаковые строки, то он равен 0. Действительно, при перестановке одинаковых строк, с одной стороны, определитель не изменится, с другой стороны, изменит знак на противоположный. Т.о., , 2 ,

5. Общий множитель элементов какой-либо строки определителя можно выносить за знак определителя.

6. Если элементы какой-либо строки определителя представляют сумму 2-х слагаемых, то определитель равен сумме 2-х соответствующих определителей.

7. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки определителя прибавить элементы другой строки, умноженные на некоторое число.

Миноры и алгебраические дополнения

Минором элемента определителя n-го порядка называется такой определитель (n-1)-го порядка, который получается из определителя n-го порядка вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком , т.е. .

Теорема Лапласа (о разложении определителя).

Определитель n-го порядка равен сумме произведений всех элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения: (разложение определителя по элементам i-ой строки).

Пример. Вычислить определитель матрицы А = .

Для по теореме Лапласа:

= -5 + 18 + 6 = 19.

Аналогичное разложение можно записать для элементов -го столбца.

На теореме основан метод вычисления определителей понижением их порядка. Если в определителе n-го порядка все элементы i-ой строки, за исключением одного, равны 0, то такой определитель равен этому отличному от 0 элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Для вычисления определителей n-го порядка также используется метод приведения к треугольному виду, когда все элементы, расположенные выше (ниже) одной из его диагоналей равны 0.

Для преобразования определителя к соответствующему виду используются свойства определителя.

Операции над матрицами

Суммой матриц A и B одинаковой размерности называется матрица C= A + B той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. .

Сложение матриц коммутативно, т.е. .

Произведением матрицы A на число называется матрица B= A той же размерности, получающаяся из матрицы умножением каждого элемента на , т.е. .

Произведением матриц A и B называется матрица C= AB , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j - го столбца матрицы B. Умножение матрицы на матрицу возможно только при условии, что число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, т.е. n=p. Тогда матрица С имеет размерность и .

Заметим, что для любых квадратных матриц det (AB) = detAdetB.

Произведение матриц не коммутативно, т.е. . В частном случае может оказаться, что . Такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера: АЕ = ЕА = А. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

Операция умножения матриц ассоциативна, т.е. (АВ)С=А(ВС).

Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. А(В + С) =АВ + АС.

Матрица, полученная из данной матрицы A заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной, и обозначается . Если определено произведение АВ, то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство .

Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число a = 2. Найти А^ТВ+aС.

A^T = ; A^TB = × = = ;

aC = ; А^ТВ+aС = + = .

Обратная матрица

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию: XA = AX = E, где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратнойк матрице А и обозначается .

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю, имеет обратную матрицу и притом только одну. Чтобы найти обратную матрицу , надо составить матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы A , транспонировать ее и умножить на число .

Ранг матрицы и его вычисление

Выберем в матрице A размера произвольно k строк и k столбцов (k . Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором k-го порядка матрицы A. Заметим, что таких миноров можно составить – число сочетаний из n элементов по k.

Если у матрицы все миноры порядка k r равны 0, а среди миноров порядка r имеется хотя бы один, отличный от 0, то число r называется рангом матрицы A и обозначается .

Итак, рангом матрицы называется наибольший порядок, отличных от 0 миноров матрицы.

Ранг нулевой матрицы равен 0.

Однако, обычно для определения ранга матрицы используется метод элементарных преобразований.

Элементарные преобразования матрицы:

1. Перестановка местами строк.

2. Умножение всех элементов строки на некоторое число, отличное от 0.

3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на некоторое число.

Аналогичные преобразования можно выполнять над столбцами матрицы.

Т.о, при транспонировании матрицы её ранг не меняется.

С помощью элементарных преобразований, которые не меняют ранга, матрица приводится к ступенчатому виду, когда первый, отличный от 0, элемент каждой её строки, начиная со 2-ой, находится правее 1-го, отличного от 0, элемента предыдущей строки.

Матрица, полученная с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной данной.