ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Date: 2015-10-07; view: 401.

1. 1 Визначники

1. 1. 1 Короткі теоретичні відомості

Розглянемо квадратну таблицю чисел: . Кожний її елемент має вигляд а_ij, де і- номер рядка, j- номер стовпця, у яких розташований цей елемент.

1. Визначником 2-го порядку D називається число, що знаходиться з елементів таблиці за наступним правилом: D = а₁₁а₂₂ – а₁₂а₂₁.

2. Визначник 3-го порядку квадратної таблиці чисел знаходиться за формулою: D = а₁₁а₂₂ а₃₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ + а₂₁а₃₂а₁₃ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₂₁a₁₂a₃₃ - а₃₂а₂₃а₁₁ ( правило Саріуса ). Цю формулу легко запам`ятати, користуючись схемою:

3. Мінором М_ij елемента а_ij визначника називається визначник, який утворюється з даного в результаті викреслення і-го рядка та j-гo стовпця.

4. Алгебраїчним доповненням А_ij елемента а_ij називається його мінор, взятий з відповідним знаком за формулою: .

5. Визначник n - го порядку квадратної таблиці чисел знаходиться за наступним правилом: D = а_і1А_і1+ а_і2А_і2+...+ а_іnА_іn Цей метод називається розкладом визначника за елементами і-го рядка. Аналогічно можна обчислити визначник шляхом розкладу за елементами будь-якого стовпця. Користь цього метода полягає у зниженні порядку визначника.

6. Деякі властивості визначників:

1) у визначнику рядки та стовпці мають однакові властивості;

2) якщо у визначнику два рядки (стовпці) поміняти місцями, то визначник змінить знак;

3) якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) нулі, то D = 0;

4) якщо визначник має два однакових або пропорційних рядка (стовпця), то D = 0;

5) спільний множник всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) можна винести за знак D;

6) якщо кожний елемент і-го рядка (стовпця) є сумою двох доданків, то D дорівнює сумі визначників, у одного з яких і-й рядок (стовпець) складається з перших доданків, а у другого - з других;

7) визначник не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число, відмінне від нуля.