Елементи теорії матриць

Date: 2015-10-07; view: 423.

1. 2. 1 Короткі теоретичні відомості

1. Прямокутна таблиця чисел, складена з m рядків та n стовпців і записана у вигляді або A = (a_іj), називається матрицею, де

a_іj - елемент матриці, і = 1, ..., m - номер рядка, j = l, ..., n - номер стовпця,

m x n - розмірність матриці.

Окремі випадки: m х 1 - матриця - стовпець, 1 х n - матриця - рядок, n х n - квадратна матриця, n - її порядок.

2. Множина елементів а₁₁, а₂₂, ..., а_nn називається головною діагоналлю матриці, a_n1, а_(n-1)2, ..., a_1n - допоміжною діагоналлю.

3. Квадратна матриця називається діагональною, якщо при i ¹ j всі a_іj = 0, наприклад, діагональна матриця 3-го порядку: .

4. Діагональна матриця називається одиничною , якщо при i = j всі a_іj = 1 і позначається Е. Наприклад, одинична матриця 3-го порядку: .

5. Нульовою називається матриця, всі елементи якої a_іj = 0 і позначається О.

6. Транспонованою матрицею А^Т до матриці А називається матриця (a_іj)^Т= (а_ji), тобто рядки і стовпці якої міняються місцями.

7. Визначник є числовою характеристикою квадратної матриці. Квадратна матриця називається виродженою, якщо її визначник дорівнює нулю.

8. Дії над матрицями:

1) Множення на число: добутком матриці A_mxn = (a_іj) на число k (або k на А) , називається матриця В_mxn = (b_ij), де b_ij = ka_іj " i, j .

2) Алгебраїчна сума матриць визначена лише для матриць однакового розміру за правилом: С = А± В, де A_mxn = (a_іj), В_mxn = (b_ij), С_mxn = (с_ij): с_ij = a_іj ± b_ij, " i, j.

3) Множення двох матриць визначено лише для узгоджених матриць.

Матриця A_mxn називається узгодженою з матрицею В_nхk , якщо кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В. A_mxn × B_nxk = C_mxk. Квадратні матриці взаємно узгоджені.

Властивості:

1. А× В ¹ В× А;

2. А× Е = Е× А = А;

3. А× О = О× А = О;

4. (k× A)В = A(k× B) = k(A× B).

Правило множення: с_ij = a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + ... + a_in b_nj , тобто кожний елемент с_ij дорівнює сумі добутків відповідних елементів і-го рядка матриці А та j-гo стовпця матриці В.

4) Ділення двох матриць можна розглядати як множення на обернену матрицю: = В×А^-1

Матриця А^-1 називається оберненою до матриці А, якщо виконується умова: А×А^-1 = А^-1×А = Е.

Для існування А^-1 необхідно і достатньо, щоб матриця А була невиродженою, тобто D(А) ¹ 0, тоді обернена матриця знаходиться за формулою:

.