Системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Date: 2015-10-07; view: 433.

1. 3. 1 Короткі теоретичні відомості

1. Системою лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) називається система вигляду:

, де

х_j - невідомі, j = 1,…, n;

а_ij – коефіцієнти при невідомих, i = 1,…, m;

b_i - вільні члени.

2. Упорядкований набір чисел Х = (х`<sub>1</sub>, х`₂ , ... , х`_n) називається розв 'язком СЛАР, якщо при підстановці його у систему всі рівняння перетворюються на тотожності.

3. СЛАР називається сумісною, якщо вона має принаймні один розв`язок, і несумісною, якщо не має жодного.

4. Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний розв`язок, і невизначеною, якщо більше одного.

5. Дві СЛАР називаються еквівалентними, якщо вони мають одну і ту ж саму множину розв`язків.

6. Елементарними перетвореннями СЛАР називаються такі перетворення, в результаті яких одержують еквівалентні системи, а саме:

1) переставлення місцями двох рядків;

2) множення кожного елемента рядка на одне й те саме число k ¹ 0;

3) додавання до елементів рядка відповідних елементів іншого рядка.

7. Система називається однорідною, якщо " b_i = 0.

8. Розв`язування СЛАР за формулами Крамера.

Метод застосовний лише для СЛАР з однаковою кількістю рівнянь та невідомих (і = j):

Позначимо - основна матриця системи; - матриця-стовпець вільних членів, - матриця-стовпець невідомих.

За умови позначення основного визначника системи: , та допоміжних визначників: формули Крамера мають вигляд: х_j = , j = 1,…, n.

Можливі випадки:

1) D ¹ 0, тоді СЛАР має єдиний розв'язок, який знаходиться за формулами Крамера. Якщо система однорідна, то цей розв'язок нульовий.

2) D = 0 і хоча б один D_xj ¹ 0, тоді СЛАР несумісна.

3) D = 0 і всі D_xj = 0, тоді СЛАР невизначена.

9. Розв'язування СЛАР матричним методом.

Метод застосовний лише для СЛАР з однаковою кількістю рівнянь та невідомих (і = j), основна матриця яких невироджена.

Матричний запис СЛАР: А×Х = В, розв`язок знаходиться за формулою: Х = А^–1×В

10. Розв'язування СЛАР методом Гаусса.

Метод застосовний для довільних СЛАР і грунтується на елементарних перетвореннях системи, спрямованих на те, щоб перетворити всі елементи нижче головної діагоналі на нулі. Перетворення доцільно проводити не з системою, а з розширеною матрицею системи: .

За допомогою елементарних перетворень розширену матрицю зводять до трапецієподібного вигляду:

З останнього рядка знаходять х_n , підставляють у передостанній, знаходять х_n-1, і т.д. до 1-го рядка, з якого знаходять х₁.