ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

Date: 2015-10-07; view: 390.

2. 1 Дії з векторами

2. 1. 1 Короткі теоретичні відомості

1. Вектори – це величини, що мають числове значення і напрям, тому геометрично - це напрямлені відрізки.

2. Одиничним називається вектор, довжина якого дорівнює 1.

3. Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом вектора , називається ортом .

4. Нульовим називається вектор, почток якого збігається з кінцем: . Довжина нульового вектора дорівнює 0, напрям невизначений.

5. Вектори і називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній або паралельних прямих.

6. Вектори і називаються компланарними, якщо вони лежать на одній або паралельних площинах.

7. Проекцією вектора на вісь l називається довжина вектора взята із знаком "+", якщо напрям вектора і осі однакові, і з знаком "-", якщо вони протилежні (рис. 2. 1). Позначається: .

рис. 2. 1

8. Кутом між векторами називається менший з кутів, що утворюють вектори, за умови, що вони зведені до спільного початку: .

9. Розглянемо вектор у ПДСК (OXУZ). Позначимо та знайдемо його проекції на вісі.

Координатами вектора називаються його проекції на осі координат:

, де , , аналогічно для просторового випадку .

10. Косинуси кутів, що утвоює вектор з відповідними осями координат (cos a, cos b, cos g) називаються напрямними косинусами цього вектора.

11. Довжина вектора знаходиться за формулою: .

12. Дії з векторами: Додавання та віднімання векторів в координатній формі: , , .

Множення вектора на число в координатній формі: .

Скалярний добуток векторів: × = | | | | cos j - в результаті одержуємо число. Геометричний зміст скалярного добутку: = | | , = | | .

Скалярний добуток в координатній формі: = , , × = a_xb_x+ a_yb_y + a_zb_z.

13. Умова перпендикулярності векторів: кут між векторами j = p/2, тому cos j = 0 і × = 0, або в координатній формі a_xb_x+ a_yb_y + a_zb_z = 0.

14. Умовою паралельності векторів є пропорційність їхніх координат: = k ;

k = .

15. Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини:

( ) =| || |cos0 = | | .

16. Відношенням, у якому точка М поділяє відрізок М₁М₂, називається число l, що задовольняє рівності . Зв`язок між координатами точок М(х, у, z), М₁(х₁, у₁, z₁), М₂(х₂, у₂, z₂) та l задається рівностями: ; ; . В окремому випадку при діленні відрізка М₁М₂ навпіл (l = 1), формули набувають вигляду: ; ; .