Короткі теоретичні відомості

Date: 2015-10-07; view: 347.

1. Упорядкована множина n дійсних чисел , ,…, називається n – вимірним вектором і позначається = ( , ,…, ).

2. Множина всіх n – вимірних векторів називається n - вимірним простором і позначається Е_n.

3. Лінійною комбінацією векторів , ,…, в Е_n називається вираз + +…+ , де , ,…, деякі дійсні числа.

4. Вектори , ,…, називаються лінійно незалежними, якщо їхня лінійна комбінація + +…+ = 0 тоді і тільки тоді, коли всі , ,…, = 0 і лінійно залежними, коли хоча б одне з чисел , ,…, ¹ 0.

5. Кожний вектор можна записати як матрицю - стовпець, 0 - як нульовий вектор, тоді векторну рівність + +…+ = 0 можна записати у матричній формі: + +…+ = 0 , або - це однорідна СЛАР відносно невідомих , ,…, . Однорідна СЛАР завжди має нульовий розв`язок. Якщо цей розв`язок єдиний, то вектори лінійно незалежні. Показником того, що розв`язок єдиний, є відмінність від нуля основного визначника системи: D ¹ 0. Якщо нульовий розв`язок не єдиний (існують ще ненульові розв`язки), то вектори лінійно залежні. Показником цього є рівність нулю як основного, так і всіх допоміжних визначників системи: D = 0 та D_aі = 0 (" і = 1,…, n).

6. Базисом n-вимірного простору називають будь-яку сукупність n лінійно незалежних векторів цього простору.

Якщо в n-вимірному просторі до n базисних векторів додати ще один (n + 1)-ий вектор, то така система стане лінійно залежною і один з цих векторів можна представити лінійною комбінацією інших : = + +…+ , а числа , ,…, називаються координатами в базисі , ,…, . Для того, щоб знайти координати в цьому базисі, треба розв'язати неоднорідну СЛАР:

7. На площині два будь-яких неколінеарних вектори утворюють базис і довільний третій вектор може бути представлений лінійною комбінацією базисних (рис. 2. 3).

рис. 2. 3

У тривимірному просторі три будь-яких некомпланарних вектори утворюють базис і довільний четвертий вектор може бути представленим лінійною комбінацією базисних. Найчастіше у тривимірному просторі використовують ортонормований координатний базис, це трійка векторів =(1; 0; 0), = (0; 1; 0), = (0; 0; 1), їхній напрям збігається з напрямом відповідниї координатних осей, а довжина дорівнює одиниці. Будь-який вектор може бути розкладений за базисом , , , тобто представлений у вигляді: = + + , де числа , , - координати вектора в цьому базисі: = ( , , ). Обираючи у якості базиса іншу трійку некомпланарних векторів: , , та розкладаючи вектор в цьому базисі, одержимо інші його координати: = + + ,

= ( , , ) (рис. 2. 4).

рис. 2. 4