Границі числової послідовності та функції

Date: 2015-10-07; view: 492.

4.1.1. Короткі теоретичні відомості

Умовні позначення: " - для всіх, кожний, будь-який; $ - існує.

1. Величиною називається все те, що можна охарактеризувати числовим значенням та виразити в певних одиницях виміру.

2. Величина, числове значення якої при умовах, що розглядаються, не змінюється, називається сталою, набуває різних значень - змінною.

3. Змінна величина х називається нескінченно малою величиною, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, починаючи з якого х стає і залишається менше будь-якого, скільки завгодно малого, наперед заданого числа e > 0 : |х| < e.

Позначення: х ® 0 або lim х = 0

4. Змінна величина х називається нескінченно великою величиною, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, починаючи з якого |х| стає і залишається більше будь-якого, скільки завгодно великого, наперед заданого числа М > 0 : |х| > М.

Позначення: х ® ¥ або lim х = ¥

5. Зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими обернений: нехай a - нескінченно мала, а b - нескінченно велика, тоді a = 1/ b.

6. Властивості нескінченно малих та нескінченно великих величин:

1) Алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих є величина нескінченно мала.

2) Добуток обмеженої величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала.

Наслідки:

1) Добуток нескінченно малої на сталу величину є величина нескінченно мала.

2) Добуток скінченої кількості нескінченно малих є величина нескінченно мала.

Аналогічні властивості для нескінченно великих, за винятком різниці нескінченно великих.

7. Якщо " nÎN за певним правилом ставиться у відповідність число х_n , то множину {х₁, х₂, ... , х_n , ...} називають числовою послідовністю і позначають {х_n, n ³ 1}.

8. Стала величина а називається границею числової послідовності {х_n, n ³ 1}, якщо " e > 0, наперед заданого, як завгодно малого $ такий номер N = N(e), що " n > N виконується нерівність: |х_n- а| < e.

Це означає, що інтервал (а - e ; а + e) містить всі члени числової послідовності, починаючи з деякого номера. Чим менше ми оберем e, тим пізніше почне виконуватись зазначена властивість (рис. 4. 1).

рис. 4. 1

Позначення: .

9. Послідовність, що має скінченну границю, називається збіжною, в інших випадках - розбіжною.

10. Якщо " х Î X за певним правилом поставлене у відповідність певне дійсне число у ÎУ ,то кажуть, що у є функцією від х : y = f (x)

11. Нехай функція y = f (x) визначена в деякому околі точки х₀ (крім можливо самої точки х₀). Число А називається границею функції в точці х₀, якщо " e > 0, наперед заданого, як завгодно малого $ число d = d (e) > 0 таке, що " х : |х - x₀| < d виконується нерівність: |f(x) - A| < e.

Це означає, що для всіх значень х, які достатньо мало відрізняються від
числа x₀, відповідні значення функції f(x) як завгодно мало
відрізняються від числа A.

Позначення:

рис. 4.3

12. При х ® ¥ число А називається границею функції на нескінченності, якщо для всіх достатньо великих значень х відповідні значення функції f(x) як завгодно мало відрізняються від числа А.

13. У наведених означеннях границь вважалось, що х ® х₀ довільним способом, але можливі випадки, коли х ® х₀, залишаючись зліва від х₀ (тобто х < х₀), або справа від х₀ (тобто х > х₀). Такі границі називають односторонніми і позначають:

- лівостороння границя;

- правостороння границя.

14. Теорема. Якщо кожна з функцій f(x) та g(x) має скінченну границю в точці х₀, то в цій точці $ також границі функцій f(x) ± g(x); f(x)g(x) та f(x) / g(x) (якщо границя g(x) ¹ 0) і справедливі формули:

;

;

.

Наслідки:

с ; [ ]

15. Функції a₁(х) та a₂(х), нескінченно малі при х ® х₀, називаються еквівалентними, якщо . Позначення: a₁(х) ~ a₂(х)

16. Теорема Нехай a₁(х) ~ a₁´(х), a₂(х) ~ a₂´(х), при х ® х₀. Якщо $ , то $ і ці границі рівні між собою.

17. Еквівалентними нескінченно малими при х ® 0 є наступні функції:

sin х ~ х,	arctg х ~ х,	- 1 ~ х,
arcsin х ~ х,	1- cos х ~ ,	ln (1 + х) ~ х,
tg х ~ х ,	- 1 ~ lna	~ nх

18. Чудові границі:

1 чудова границя:

2 чудова границя: , де е – ірраціональне число, яке наближено дорівнює 2.71828…

Друга чудова границя може мати інший вигляд: зробимо заміну 1/х = у, тоді при х ® ¥, у ® 0 і

19. У найпростіших випадках знаходження границі зводиться до підстановки в f (x) граничного значення аргументу х₀. Але пряма підстановка не завжди призводить до відповіді. Іноді однакові дії з нескінченно малими та нескінченно великими функціями дають різні результати. Наприклад, нехай a - нескінченно мала, a b = a², g = 2a - теж нескінченно малі, тоді - будуть відповідно нескінченно малою, нескінченно великою та сталою величинами. Аналогічно для нескінченно великих. Така ситуація при знаходженні границь називається невизначеністю.

20. Основними типами невизначеностей є , , , , , , .

В разі, якщо підстановка граничного значення аргументу призводить до невизначеності, слід таким чином перетворити функцію f (x) , щоб позбутись цієї невизначеності. Таке перетворення функції називається розкриттям невизначеності. Методи розкриття невизначеностей залежать від типу функції f (x) та типу невизначеності.