Характеристичний многочлен

Date: 2015-10-07; view: 1153.

Нехай - власне число матриці А. Тоді існує вектор , що .

Перепишемо рівність у вигляді

. (*)

Остання векторна рівність являється системою лінійних однорідних рівнянь. Така система завжди має нульовий розв'язок. Нагадаємо, що для того,щоб вектор , задовільний цій системі, був власний, потрібно щоб система (*) мала ненульовий (і, отже, не єдиний) розв'язок. Тоді її визначник

. (**)

Навпаки, якщо визначник однорідної системи (*) дорівнює нулю, то ця система має ненульовий розв'язок, тобто існує власний вектор , відповідний даному .

Отже, має місце теорема. Для того, щоб було власним числом матриці А потрібно и достатньо, щоб

.

Розглянемо рівність (**) детальніше.

Матриця має вигляд:

Отже, рівність (**) можна записати так:

Ліва частина цієї рівності є многочленом степені n відносно позначимо його .

Многочлен називається характеристичним многочленом матриці А, а в рівнянні (**) називається характеристичним рівнянням. Нагадаємо , що число є корінь многочлена , і якщо .

Тоді, останню теорему можна сформулювати так :

Теорема. Число власне число матриці А тоді і тільки тоді, коли корінь характеристичного многочлена цієї матриці.

Відомо, що многочлен степені n має рівно n корнів (з урахуванням їх кратності) дійсних або комплексних. Нас буде цікавити тільки дійсні власні числа і відповідні їм власні вектори.

Розглянемо приклад: знайти власні значення і власні вектори матриці

Відповідні власні вектори .

Такі власні числа і вектори ми будемо розглядати.

Отже, наша задача складається у знаходженні дійсних коренів характеристичного многочлена.

В подальшому, говорячи про власні числа, ми будемо мати на увазі тільки дійсні власні числа.

Приклад 1. Знайти власні числа матриці

.

Характеристичний многочлен має вигляд :

.

Характеристичне рівняння:

Корні характеристичного многочлена : власні числа матриці А.

Приклад 2. Знайти власні числа матриці

Характеристичний многочлен:

Розкладемо визначник по першому рядку:

Характеристичне рівняння:

Корні характеристичного многочлена: , .

Многочлен має два різні кореня 3,6 при чому корінь 3 кратності 2.