Власний підпростір.
Date: 2015-10-07; view: 508.
Нехай 
власне число матриці А. Як знайти власні вектори, відповідні даному 
Як говорилося, треба дане значення 
підставити в рівняння (*) и знайти всі розв'язки системи:
(***)
Визначник цієї однорідної системи дорівнює нулю, всі розв'язки такої системи утворюють підпростір простору 
(див. розділ 1), ненульові вектори якого складають власний підпростір 
, власних векторів, відповідних даному значенню .
Строго кажучи не є підпростором, так як не містить 
вектора. Але, коли кажуть про власний підпростір то вектор 
додається до всіх власних.
Щоб знайти загальний розв'язок системи (***) слід знайти фундаментальну систему розв'язків (ФСР), твірну базис . Нагадаємо, що розмірність підпростору дорівнює n-r, де n – число змінних, r – ранг матриці 
при даному .
Справедлива теорема.
Теорема. Розмірність власного підпростору не перевищує кратності характеристичного многочлена 
.
Матриця
Має власні числа 
. Нехай 
, тоді система 
приймає вигляд:
Система еквівалентна одному рівнянню 
, тут n = 2, r = 1, 
вільна змінна, 
залежна. ФСР складається з одного вектора 
який утворює базис в одновимірному власному підпростору .
Нехай тепер 
, тоді для власного вектора отримаємо систему:
яка еквівалентна одному рівнянню 
. Надаючи вільній змінній 
значення 1, отримаємо вектор 
, утворюючий ФСР у власному підпростору
Так яка власне значення 
, то вектори 
лінійно незалежні і можуть слугувати базисом простору 
Матриця
Має власні числа 
.
Знайдемо власні вектори, відповідні значенню 
.
Система має вигляд:
Ця система еквівалентна одному рівнянню 
,
вільні змінні , залежна.
Загальний розв'язок в координатній формі має вигляд:
.
Вважаючи 
, 
, отримаємо вектор 
при 
, 
отримуємо вектор 
. Вектори 
утворюють ФСРв власному підпросторі .
Нехай 
. Система
Еквівалентна система має вигляд :
n = 3, r =2, 
, 
вільна змінна, 
залежні. Загальний розв'язок в координатній формі: 
.
При 
, отримаємо вектор 
, відображає ФСР власного підпростору 
. Вектори 
лінійно незалежні і можуть слугувати базисом простору 
Розглянемо іще один приклад.
Характеристичний многочлен 
:
Власні числа матриці: 
, 
. Знайдемо власний підпростір 
для кратного корня 
n = 3, r = 2 , вільна змінна , 
базис 
Зауважимо, що 
менше кратності кореня 
. Таким чином, двократному кореню відповідає одномірний власний підпростір .
Нехай тепер , відповідна система має вигляд:
вільна змінна, залежні:
і 
Хоча лінійно незалежні, але вони можуть створювати базис 
.
Підведемо підсумки сказаному. Сформулюємо алгоритм пошуку власних числе і власних векторів матриці.
1. Складемо характеристичне рівняння:
2. Знайдемо дійсні корені 
характеристичного многочлена (якщо таких немає, то немає і власних векторів). Нехай 
, де 
порядок квадратної матриці A.
3. Для кожного кореня 
складемо система лінійних однорідних рівнянь
і знайдемо її ФСР: 
, розмірності 
.
4. Об'єднати знайдені фундаментальні системи по всім власним значенням . Отримана система з власних векторів матриці А буде лінійно незалежною.
ЇЇ число векторів об'єднаної системи 
то вона утворює власний базис матриці А.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Характеристичний многочлен | | | Глава 2. Зведення симетричної матриці до діагонального виду |