Глава 2. Зведення симетричної матриці до діагонального виду

Date: 2015-10-07; view: 451.

§ 1. Скалярний добуток в підпросторі . Процес ортогоналізації

Процес ортогоналізації

У юніті нашого першого курсу вже було введено поняття скалярного твори в просторі Rⁿ . Напомним его.

Нехай и -два вектори простора , тоді скалярним добутком веторів буде або

У наступних розділах буде узагальнення поняття скалярного добутку та розглянуто його основні властивості .

Нагадаємо, що довжина векотра є (норма вектора)

Два вектори и ортоганальны, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю, т.е. ( =0

Визначення.Система векторів ортоганальни, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю, т.е. ( =0

Визначення. ортоганальны, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю, т.е. ( =0

( для всех

1) ( для всех

Можна довести ( що буде зроблено нижче) , що ортогональна система лінійно незалежна

Визначення. Ортонормованною називается система векторів из , якщо

1)Система ортогональна.

2)Довжина кожного вектора системи равна 1, т.е.

Будь-який вектор можно норувати , т.е. побудувати такий вектор , що .

Вектор називається ортом вектора , якщо його довжина дорівнює одиниці, а його координати:

.

Наприклад, ортом вектора

, т.к. .

Отже, будь-яку ортогональну систему легко трансформувати в ортонормовану.

Будь-яка ортонормирована система з n векторів простору утворює ортонормованій базис простору .

Нехай линійно незалежна система векторів з . Тоді її можно ортогоналізувати, тобто побудувати ортогональну систему векторів таку що, линійні оболочки векторів та збігаються:

.

О лінійній оболочці див. юніт 1.

Покажем, як з системи будується .

Алгоритм процеса ортогоналізації: 1) 2) коэффіціент подберем так щоб и були ортогональні, т.е. .

, звідси .

3) . и шукеємо одну з умов:

або

.

т.к. , то .
,

т.к , то .

Отже,

,або

.

Аналогічно будуються вектори , ,…. , де

.

Зауважимо, щя вектори нової сиситеми ,… є лінійними комбінаціями векторів лінійно незалежної системи , т.е належать .

Отже, від випадкового базиса линійной оболочки мы перейшли до ортогональномго базису , де .

Приклад. В просторі вектори =(2.0) и =(2,2) не колинеарні та образують базис. Т.к. ( )=4 , то базис ортогональний.Побудуємо ортогональний базис .

1.

2. де =

3.

Базис - ортогональний, але не нормований.Нормуємо цей базис:

Базис , -ортонормированний стандартний базис.

Стандартні базиси и в являются ортонормованими базисами.