Визначення. Квадратна матриця порядку n, стовпці якої задовольняють умовам (a), (b) називається ортогональною.

Date: 2015-10-07; view: 381.

2. Перелічимо основні властивості ортогональної матриці U:

3. 1. Рядки матриці U (як і стовпці) утворюють ортонормованій базис вRⁿ.

4. U^T=U^-1 , т.е. обчислення оберненої матриці для U зводиться до її транспонування.

5. (u , u )=( , ) для всіх , Rⁿ.

1. Ця властивість означає, що скалярний добуток при дії ортогональної матриці U на вектори зберігається, а значить зберігаються довжини векторів і кути між ними.

2. Будь-яке з перерахованих властивостей може служити визначенням ортогональної матриці. Ми будемо дотримуватися спочатку даного опеределения.

3. Розглянемо приклади.

В просторі R² поворот на угол ϕ (0<ϕ<π) по годиникової стрілці задається матрицею перехода

A

Легко перевірити, що матриця А (φ) ортогональна. З геометричних міркувань очевидно, що довжини векторів і кути між ними при такому перетворенні зберігаються.

2.В просторі R розглянемо перетворення-відображення вектора относитель осі ОХ.При такому перетворенні базис , перейде в базис = , = .Тоді матриця переходу А від базиса { } к базису { } має вигляд:

Отже, це перетворення зберігає довжинуі вектора та і угли між ними, а матриця переходу А-ортогональна.

У заключенні подивимося, як змінюються координати вектора при переході від одного базису до іншого.

Нехай в задани два базиса , ,… и , ,… , . Обозначимо С матрицю перехода від старого базиса { } к новому базису { }, т.е. .

Выберемо випадковий вектор , розложимо його по «старому базису»:

Аналогічно, разложення цього вектора по «новому базису» {g} має вид:

4. Об'єднаємо всі знайдені системи , відповідають різним власним числам. В результаті отримаємо ортогональну систему з власних векторів матриці А (різним відповідають ортогональні власні вектори), яка і утворює базис в – власний ортогональний базис матриці А:

5. Нормуємо цей базис:

Отримаємо ортонормованій власний базис (див. уміння) симетричною матриці А.

Зауважимо, що матриця С переходу від стандартного базису до власного базису {g} - ортогональна. Тепер сформулюємо ще один важливий результат. Для всякої симетричною матриці А існує така ортогональна U, що B = , причому В має діагональний вигляд: B=( , де - власний числа матриці А В якості матриці слід взяти ортогональну матрицю переходу С.)