Визначення лінійного простору

Date: 2015-10-07; view: 406.

Глава 4. Лінійні простори

В різних областях алгебри, геометрії і аналізу зустрічаються об'єкти, над якими можна проводити операції додавання і множення на числа. Перш за все до таких об'єктів відносяться самі числа (дійсні и комплексні). Іншими прикладами можуть служити в механіці и геометрії вільні вектори у тривимірному просторі. Операції додавання векторів і множення вектора на число визначається відомим образом.

В аналізі додаються і множаться на числа функції.

Природа цих об'єктів різна і операції додавання і множення на числа визначають по різному, але при цьому можна помітити, що ці операції володіють багатьма загальними властивостями: наприклад, додавання підпорядковується комутативному и асоціативному законам, а множення задовольняє дистрибутивний закон відносного додавання. Є і інші загальні закономірності.

Щоб вивчити всі такі об'єкти з єдиної точки зору, вводиться поняття лінійного векторного простору. Елементи лінійного простору зазвичай називають векторами(хоча по своїй природі вони можуть бути зовсім не схожі на звичні нам спрямовані відрізки) або точками. Позначати елементи лінійного простору будемо малими латинськими буквами x,y,z.

Множина V називається лінійним (або афінним) простором якщо,

1) задано правило, при якому для кожних 2-х елементів можна побудувати третій елемент , який називається сумою х и у і позначається ;

2) задано правило, яке дозволяє для кожного елемента и кожного числа побудувати елемент , , що називається множенням х на число ;

3) правила побудови суми і множення елемента на число задовольняючих наступним аксіомам:

I. a) ;

б) ;

в) існує 0 (нуль—вектор), такий елемент із R, що ;

г) для будь якого існує елемент такий, що ;

у — називають протилежним до х елементом.

II. а) ;

б) і будь яких .

III. a) ;

б) і будь яких .

Якщо числа у визначенні дійсні, то отримаємо дійсний лінійний простір, в іншому випадку комплексне.

Надалі, якщо не обумовлено інше, будемо мати справу з дійсним лінійним простором.

Не випадково у визначенні нічого не говориться про те, як задаються операції додавання і множення на числа, вимагається тільки, щоб виконувались перелічені аксіоми. В кожному конкретному лінійному просторі ці операції визначаються по своєму.

Розглянемо декілька прикладів лінійних просторів.

1. Сукупність всіх дійсних або комплексних чисел зі звичайними операціями додавання і множення на дійсні числа.

2. Множини вільних векторів у 3-вимірному просторі (або сукупність векторів у просторі, початок яких співпадає з початком координат).

3. Сукупність всіх неперервних на функцій з прийнятими в аналізі операціями поточеного додавання функцій і множення функції на число . Цей простір позначимо .

4. Сукупність всіх многочленів ступеню не вище n: також утворюють лінійний простір.

5. Розглянемо однорідну лінійну систему рівнянь

.

Сукупність всіх рішень такої системи утворює лінійний простір. - вектором в цьому просторі являється тривіальне рішення .

6. Розглянутий раніше простір . Елементи його представляють собою сукупність будь яких n дійсних чисел: ; числа зазвичай називають координатами. Операції додавання і множення вводяться покоординатно (див. юніту 1).

7. Сукупність дійсних матриць одного порядку із введеними операціями додавання матриць і множення матриць на число.

Кожний із приведених лінійних просторів містить нульовий елемент, для кожного елементу є протилежний.

У всіх розглянутих прикладах операції додавання і множення на число визначені так, що виконуються всі аксіоми I-III, так як в кінці кінців усі операції зводяться до операцій над числами.